1. 函式極限的定義
設函式 \(f(x)\) 在點 \(x_{0}\) 的某一去心鄰域內有定義，如果存在常數 \(\mathrm{A}\) ，對於 任意給定的正數 \(\varepsilon\) (無論它多麼小)，總存在正數 \(\delta\) 使得當 \(x\) 滿足不等 式 \(0<\left|x-x_{0}\right|<\delta\) 時，對應的函式值 \(f(x)\) 都滿足不等式:

\[|f(x)-A|<\varepsilon \]

那麼常數 \(\mathrm{A}\) 就叫做函式 \(f(x)\) 當 \(x \rightarrow x_{0}\) 時的極限，記作

\[\lim _{x \rightarrow x_{0}} f(x)=A \]

2. 函式極限性質
1、唯一性：若數列的極限存在，則極限值是唯一的，且它的任何子列的極限與原數列的相等；
2、有界性：如果一個數列收斂（有極限），那麼這個數列一定有界。
但是，如果一個數列有界，這個數列末必收斂。例如數列 \(1 ，-1 ， 1 ，-1 ， \ldots . . ，(-1) n+1 ， \ldots . .\)
3、保號性: 若 \(\lim _{n \rightarrow+\infty} x_{n}=a>0 \quad\) (或<0)，則 對任何 \(m \in(0 ， a) \quad(a<0\)

時則是 \(m \in(a ， 0)\) ），存在 \(N>0\) ，使 \(n>N\) 時有 \(x n>m \quad\) (相應的xn \(<\mathrm{m}\) )。
4、保不等式性：設數列 \(\{x n\}\) 與 \(\{y n\}\) 均收斂。若存在正數 \(N\) ，使得當 \(n>N\) 時有 \(x n \geq y n\) ，則 \(\lim _{n \rightarrow+\infty} x_{n} \geq \lim _{n \rightarrow+\infty} y_{n}\)
5、和實數運算的相容性：䢃如：如果兩個數列{xn}，{yn} 都收斂，那麼數列 \(\{x n+y n\}\) 也收斂，而且 它的極限等於 \(\{x n\}\) 的極限和 \(\{y n\}\) 的極限的和。
6、與子列的關係: 數列 \(\{x n\}\) 與它的任一平凡子列同為收斂或發散，且在收斂時有相同的極限；數列 收斂的充要條件是：數列{xn} 的任何非平凡子列都收斂
3. 複合函式求極限
對內層函式求得x0處的極限u0，再求外層函式在u0處的極限。極限代表的是一種趨向性，函式f(x)在x=x0處的極限與f(x)在x=x0處的函式值無關（假設f(x)在x=x0處有定義），所以函式極限定義用的是x0的去心鄰域，因為當x=x0時，|f(x)-A|=|f(x0)-A|0)f(x)=0。
4. 無窮大量
若自變數x無限接近x0（或|x|無限增大）時，函式值|f(x)|無限增大，則稱f(x)為x→x0(或x→∞)時的無窮大量。例如f(x)=1/(x-1)^{2是當x→1時的無窮大量，f(n)=n}2是當n→∞時的無窮大量。無窮大量的倒數是無窮小量。應該特別注意的是，無論多麼大的常數都不是無窮大量。
5. 單側極限
定義 設函式 \(f\) 在U \({ }^{0}\left(x_{0} ; \bar{\delta}^{\prime}\right)\left(\right.\) 或U \(\left.{ }^{0} \cdot\left(x_{0} ; \bar{\delta}^{\prime}\right)\right)\) 內有定義， \(A\) 為定數. 若對 任給的 \(\varepsilon>0\) ，存在正數 \(\delta\left(<\delta^{\prime}\right)\) ，使得當 \(x_{0}<x<x_{0}+\delta(\) 或 \(\left.x_{0}-\overline{<} x<x_{0}\right)\) 時，有 \(|f(x)-A|<\varepsilon\) ，則稱 數 \(A\) 為函式 \(f\) 當 \(x_{0}^{+}\)趨於 \(x_{0}{ }^{+}\left(\right.\)或 \(\left.x_{0}{ }^{-}\right)\)時的右 \((\)左 \()\)極 限，記 作 : \(\lim _{x \rightarrow x_{0}^{+}} f(x)=A(\) 或 \(\left.\lim _{x \rightarrow x_{0}^{-}} f(x)=A\right)\). 或 \(f(x) \rightarrow A\left(x \rightarrow x_{0}^{+}\right)\left(f(x) \rightarrow A\left(x \rightarrow x_{0}^{-}\right)\right)\).
右極限與左極限統稱為單側極限. \(f\) 在點 \(x_{0}\) 的右極限與左極限又分別記為 \(: f\left(x_{0}+0\right)=\lim _{x \rightarrow x_{0}+} f(x)\) 與 \(f\left(x_{0}-0\right)=\lim _{x \rightarrow x_{0}^{-}} f(x)\)
6. 特殊的函式極限

\[\begin{array}{c} \lim _{x \rightarrow 0} \frac{\sin x}{x}=1 \\ \lim _{x \rightarrow 0}(1+x)^{\frac{1}{x}}=e \end{array} \]

7. 例題
問題：lim(x→0）sinx/x=1的證明
解答：因為當x∈(0,π/2)，恆有不等式：sinx<x<tanx成立
因此，有：sinx/x<1且tanx=sinx/cosx>x，即cosx<sinx/x
即：cosx<sinx/x<1
由於cosx與sinx/x都是偶函式，所以上述不等式對0<|x|<π/2都成立
因此，注意到lim cosx=1
根據迫斂性得：lim sinx/x=1