6、邏輯代數的化簡（公式法和卡諾圖法）
一、邏輯函式的化簡
將一個邏輯表示式變得最簡單、運算量最少的形式就叫做化簡。由於 運算量越少，實現邏輯關係所需要的閘電路就越少，成本越低，可靠性相對較高，因此在設計邏輯電路時，需要求出邏輯函式的最簡表示式。
由此可以看到，函式化簡是為了簡化電路，以便用最少的門實現它們，從而降低系統的成本，提高電路的可靠性。
通常來說，我們化簡的結果會有以下五種形式
為什麼是這五種情況，這個跟我們實現的邏輯電路的元器件是有關係的。在所有的邏輯電路中，都是通過與、或、非三種邏輯電路來實現的，之前說過邏輯“與或”、“或與”、“與或非”組合邏輯電路是具有完備性的，也就是說能夠通過它們不同數量的組合能夠實現任何電路。
通過不同的“與或”電路組成的電路，最後化簡的表示式就是“與或”表示式，其他同理。
二、將使用“與或”表示式的化簡
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表示式中乘積項的個數應該是最少的
表達了最後要用到的與門是最少的，因為每一個乘積項都需要一個與門來實現。同時也對應了或門輸入端的個數變少，有2個與項或門就有2個輸入端，有3個與項或門就有3個輸入端。
所以第一個條件是為了我們的與門和或門最少。
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每一個乘積項中所含的變數個數最少
它是解決每一個與門的輸入端最少。
邏輯函授的化簡有三種方法
三、邏輯函式的代數化簡法
3.1 並項法
並項法就是將兩個邏輯相鄰（互補）的項合併成一個項，這裡就用到了“合併律”
將公因子A提取出來合併成一項，b和b非相或的結果就等於1，所以最後的結果就是A。
3.2 吸收法
吸收法是利用公式“吸收律”來消去多餘的項
3.3 消項法
消項法又稱為吸收律消項法
3.4 消因子法（消元法）
3.4 配項法
左邊的例子用到了方法1，右邊的例子用到了方法2。
3.5 邏輯函式的代數法化簡的優缺點
優點：對變數的個數沒有限制。在對定律掌控熟練的情況下，能把無窮多變數的函式化成最簡。
缺點：需要掌握多個定律，在使用時需要能夠靈活應用，才能把函式化到最簡，使用門檻較高。在有些函式下，並不能化到最簡。
綜上所述，代數法化簡的缺點遠遠大於它的優點，因而引出了卡諾圖化簡法。
四、卡諾圖化簡
4.1 概念
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卡諾圖是由美國工程師卡諾（Karnaugh）首先提出的一種用來描述邏輯函式的特殊方格圖。
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在學習卡諾圖之前有個概念需要清楚：
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最小項的定義：一個函式的某個乘積項包含了函式的全部變數，其中每個變數都以原變數或反變數的形式出現，且僅出現一次，則這個乘積項稱為該函式的一個標準積項，通常稱為最小項。
簡單來說最小項就是變數只有與非的表示式，3變數的與非表示式能夠組合出8種不同的形式。它們的特點是8種不同的與非表示式，輸入同樣的變數取值，如：000，最後只有一種表示式會得1，其餘得0，所以叫做最小項。
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邏輯相鄰最小項，如果兩個最小項之間，只有一個變數不同，其餘都相同，這個就叫做邏輯相鄰最小項。
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| 編號 | A | B | F |
|---|---|---|---|
| m0 | 0 | 0 | 0 |
| m1 | 0 | 1 | 1 |
| m2 | 1 | 0 | 1 |
| m3 | 1 | 1 | 0 |
這個真值表是AB變數的數值是按照順序來變化的，可以看到編號為m1和m2之間變數並不相鄰，都互相取反了。我們可以通過調整順序，將這個真值表變成邏輯相鄰（格雷碼）。
| 編號 | A | B | F |
|---|---|---|---|
| m0 | 0 | 0 | 0 |
| m1 | 0 | 1 | 1 |
| m3 | 1 | 1 | 0 |
| m2 | 1 | 0 | 1 |
將m3和m2進行位置的互換以後，可以看到只有1位變數的值，發生了變化，這樣就叫做邏輯相鄰（格雷碼）。
邏輯相鄰（格雷碼）給我們找到了一個化簡的途徑，在卡諾圖中正是利用了這個原理進行化簡的。
4.2 卡諾圖的構成
卡諾圖主要的做法就是畫一個二維的方格圖，在這個圖裡面，我們把邏輯相鄰的最小項都擺放成位置相鄰。
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在這個方格圖中，每一個方格代表邏輯函式的一個最小項，而且幾何相鄰（在幾何位置上，上下或左右相鄰）的小方格具有邏輯相鄰性（格雷碼），即兩相鄰小方格所代表的最小項只有一個變數取值不同。
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對於有n個變數的邏輯函式，其最小項有2^n個。因此該邏輯函式的卡諾圖由 2^n 個小方格構成，每個小方格都滿足邏輯相鄰項的要求。
這是一個二變數的卡諾圖，變數A寫在左側，0和1表示那一列A不同的取值。變數B寫在上方，0和1表示那一行B不同的取值。格子裡面是存放的是左側與上側的變數結合出來的最小項表示式。結合成最小項時，左側的變數A在高位，上側的變數B在低位。
相鄰方格位置之間的最小項只有一個變數發生了變化，這個就叫做位置相鄰。
在卡諾圖中多變數那一行，需要按照邏輯相鄰（格雷碼）的概念進行排序。
N變數的表示式有N種不同的最小項，這個原理在卡諾圖中也是一樣的。在N變數的卡諾圖中，任意位置的最小項都能找到N個對應位置相鄰的最小項。
最小項編號具有格雷碼的迴圈特性，所以在卡諾圖中邊緣的最小項能夠跟它最上面和最左、右邊的最小項位置相鄰。
對於5變數的卡諾圖，我們也應該提供給每一個最小項都有5個位置相鄰的最小項。但是在二維表中，只有上下左右，因此沒有辦法在一個表中提供5個位置相鄰的最小項。那麼一張不行，我們就把它定義成2張卡諾圖。
假設，5個變數分別為：ABCDE，我們把A變數單獨拿出來，將A=0的情況，用一張表來表示；將A=1的情況，再用一張表表示。每個表都是4變數的卡諾圖，結合成最小項時，A變數在最高位，接下來是左側的變數BC，上側的變數DE在低位。
4.3邏輯函式的卡諾圖表示
最小項之和式
最大項之積式
4.4 真值表轉換成卡諾圖
4.5 一般“與或”式的邏輯函式轉換成卡諾圖
1、將式子的不同變數提取出來，變成N變數的卡諾圖。
2、觀察結果F 在何種狀態下結果會變為1，上面式子通過觀察可知，只要有一個與項的結果等於1，其結果F就會等於1.
3、將會使結果F等於1的變數值和卡諾圖對應上，其格子填上1。
4、所有F=1的情況，列出來以後，其他就=0了。
4.6 一般“或與”式的邏輯函式轉換成卡諾圖
1、將式子的不同變數提取出來，變成N變數的卡諾圖。
2、觀察結果F 在何種狀態下結果會變為0，上面式子通過觀察可知，只要有一個或項的結果等於0，其結果F就會等於0.
3、將會使結果F等於0的變數值和卡諾圖對應上，其格子填上0。
4、所有F=0的情況，列出來以後，其他就=1了。
4.7 邏輯函式為其他形式轉換成卡諾圖
4.7 卡諾圖的性質
4.8 卡諾圖的運算
4.9 利用卡諾圖化簡邏輯函式
4.9.1 最小項合併規律
這個圈就叫做卡諾圈。