1.傅立葉級數的定義：

數學上對任意函式進行分解，必須保證有一個可以表示該函式的正交，歸一函式族。

若將此用於訊號的分解上，則一個正交，歸一的函式族構成了訊號空間，在這個空間中任何訊號可以用這樣一族函式表示。

在常用函式中正交，歸一的函式族有很多種，如三角函式族、正負負指數族、沃爾什函式族等，用這些基本的函式完成任意訊號的分解，從而建立譜的概念，同時解決連續訊號時-頻之間的變換。

下面簡單討論三角函式族，我們知道對於一個向量正交來說，兩個向量相乘為0,則稱這兩個向量為正交向量，任意向量可以用這兩個向量乘以不同係數來表示。

同樣的，對於任意兩個函式相乘積分為0，則稱這兩個函式是正交的。

其中，將這些所有互相正交的函式稱為正交函式集。其中任意函式都可由其正交函式集乘以不同係數來表示。

正交函式集定義

X(t)表示任意訊號，用正交函式集可以合成任意訊號

三角函式正交函式集

傅立葉級數定義：

任何一個週期為T的週期訊號f(t)，滿足狄裡克雷條件，都可展開為如下三角級數

其中1為基波角頻率，它與訊號週期T關係為2/T

看概念可能不好理解，下面是我找的例子

2.離散傅立葉變換DFT(Discrete Fourier Transform)

由來：為適應計算機作傅立葉變換運算而引出的一個專有名詞

X(t)---------------------------->(t)

截斷、週期延拓

週期訊號(t)的傅立葉級數分解：

ω = 2 *π*f0

離散化處理：連續域轉變為離散域，積分變為和

3.快速傅立葉變換FFT(Fast Fourier Transform)

定義：快速傅立葉變換是離散傅立葉變換的一種有效演算法，通過選擇和排列中間結果，可有效減小運算量，計算結果是相同的。

不同頻率點對應DFT計算公式中的冗餘：

由此，可以看出離散傅立葉變換中存在著許多計算的冗餘，FFT就是為了解決這個防止重複性計算

FFT裡面比較常用的就是採用了蝶形運算的方法，來減少運算量，不過其要求就是點數必須是2的冪次方。所以在呼叫FFT時候其資料長度必須為2的冪次方。

4.FFT譜的柵欄效應

為提高效率，一般都採用FFT演算法來計算訊號頻譜，設取樣頻率為Fs,

T=N/Fs; f0=Fs/N

FFT計算的各傅立葉級數的頻率位置為：

fn = i*Fs/N; i=0,1,2,3……

一般來說柵欄效應帶來的誤差使得真實頻率的幅度值變小，最大可達到36%

能量洩露是由截斷帶來的，而柵欄效應是FFT帶來的，嚴格上來說，若週期截斷的話頻譜就像上面這樣，就不會有能量洩露，那一旦FFT的取樣點偏移的話可能什麼都讀不到。但實際上這類情況並不會發生，也就是說一定會有能量洩露發生，那樣的話，即使讀不到真正的譜峰也能讀到其旁瓣訊號。這也是FFT之所以適用的原因。

所以能量洩露原本是不希望有的，但對FFT變換來講確是有利的。接下來就是如何改進能量洩露了，使得其對FFT變換更有利一些，也就是增加其主瓣寬度。一般通過加窗來實現，簡單講就是用其他函式與原函式相乘截斷。

一般通過加窗以後其幅度值最後需要乘以其修正係數

2.離散傅立葉變換DFT(Discrete Fourier Transform)

由來：為適應計算機作傅立葉變換運算而引出的一個專有名詞

X(t) (t)

截斷、週期延拓

週期訊號(t)的傅立葉級數分解：

=2f0

離散化處理：連續域轉變為離散域，積分變為和