數論函式：

• 定義：

  定義域為正整數，值域為整數的函式稱為數論函式。而在 \(\tt OI\) 界中，常見的數論函式有尤拉函式 \(\phi(x)\)、莫比烏斯函式 \(\mu(x)\) 等。

• 部分運演算法則：

  • 加法

    數論函式的加法被定義為逐項相加，形式化來說就是 \(\left(f + g\right)\left(n\right) = f\left(n\right) + g\left(n\right)\)

  • 數乘

    數論函式的數乘被定義為逐項相乘，形式化來說就是 \(\left(xf\right)\left(n\right) = xf\left(n\right)\)

狄利克雷卷積：

• 定義：

  定義兩個數論函式的卷積為 \(*\)。若 \(t = f * g\)，則有：\(t\left(n\right) = \sum_{i | n}f\left(i\right)g\left(\dfrac{n}{i}\right)\)

• 性質：

  • 交換律：

    即 \(f * g = g * f\)

  • 結合律：

    即 \(f * g * h = f * \left(g * h\right)\)
    \(\large \mathcal Proof:\)
    \(\displaystyle f * g * h\\ = \sum_{i \cdot j \cdot k=n}\left(f(i) \cdot g(j)\right) \cdot h(k)\\ = \sum_{i \cdot j \cdot k=n}f(i) \cdot \left(g(j) \cdot h(k)\right)\\ = f * \left(g * h\right)\)
    
    證畢。

  • 分配律:

    即 \((f + g) * h = f * h + g * h\)
    \(\large \mathcal Proof:\)
    咕咕咕。

• 補充定義：

  • 單位元：

    \(\epsilon\left(n\right) = \left[n = 1\right]\)

  • 逆元：

    對於任意一個 \(f\left(1\right) \not= 0\) 的數論函式 \(f\)，都存在一個數論函式 \(g\) 使得 \(f * g = \epsilon\)，則稱 \(g\) 為 \(f\) 的逆元。

積性函式：

• 定義：

  \(\forall a,b \in Z^+\) 且 \(a \perp b\)

  滿足 \(f(a \times b) = f(a) \times f(b)\)，則稱 \(f(x)\) 為積性函式。

  若 \(\forall a,b \in Z^+\)，都有 \(f(a \times b) = f(a) \times f(b)\)，則稱 \(f(x)\) 是一個完全積性函式

• 常見積性函式：

  • 單位元 \(\epsilon\left(x\right) = \left[x = 1\right]\)
  • 莫比烏斯函式 \(\mu(x)\)
  • 尤拉函式 \(\displaystyle\varphi(x)=x\prod\limits_{i=1}^n\dfrac{P_i-1}{P_i}\quad \left(x = \prod\limits_{i = 1}^nP_i^{Cnt_i}, P_i \in \text{Prime}\right)\)
  • \(id^k(x)=x^k\)
  • \(1(x)=1\)
  • \(d(x)=\displaystyle\sum\limits_{d|x}1\)
  • \(\sigma(x)=\displaystyle\sum\limits_{d|x}d\)