3.1 內容概要

• PPT
  • 控制系統零、極點的概念
  • 控制系統的暫態響應
  • 線性時不變系統的概念
  • 勞斯-赫爾維茲穩定性判據
  • 穩態誤差
• 自己總結
  • 從高階系統可以拆分為疊加在一起的低階系統這一想法出發，本章首先研究的，是作為系統基本組成部分的一階系統和二階系統。
  • 雖然這個想法是好的，但在實際操作中做部分因式分解還是太麻煩（我感覺），所以接著又在不做拆分的條件下，討論了極點位置對高階系統的特性的影響。
  • 然而高階系統的極點沒有解析解，經常不容易全部找出來，所以接著又討論了幾個能在不求出全部極點的條件下，判斷系統是否穩定的方法。
  • 最後在系統穩定的條件下，討論了系統的穩態誤差。

3.2 暫態響應分析

暫態響應：課上沒有說明，自己找了找發現課上表達的意思和其他地方定義的意思不大一樣，不過簡單理解應該就是指：系統從時間零點到穩定之前這一段時間內的零狀態（為了便於比較不同系統而預設是零狀態）時域響應。

3.2.1 零點與極點

定義

對於傳遞函式\(G(s)\)，可以通過部分因式分解將其化為以下形式

\[\begin{aligned} G(s)=& \frac{c_{1,1}}{\left(s-p_{1}\right)^{n_{1}}}+\frac{c_{1,2}}{\left(s-p_{1}\right)^{n_{1}-1}}+\cdots+\frac{c_{1, n_{1}}}{s-p_{1}} \\ &+\frac{c_{2,1}}{\left(s-p_{2}\right)^{n_{2}}}+\frac{c_{2,2}}{\left(s-p_{2}\right)^{n_{2}-1}}+\cdots+\frac{c_{2, n_{2}}}{s-p_{2}}+\cdots \\ &+\frac{c_{m, 1}}{\left(s-p_{m}\right)^{n_{m}}}+\frac{c_{m, 2}}{\left(s-p_{m}\right)^{n_{m}-1}}+\cdots+\frac{c_{m, n_{m}}}{s-p_{m}}+b_{n} \end{aligned} \]

• 極點\(p_i\)
  滿足\(\lim\limits_{s\to p_i}|G(s)|=\infty\)
• 零點\(z_i\)滿足\(\lim\limits_{s\to z_i}|G(s)|=0\)

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• 這樣的定義可以把無窮遠處的零點也考慮在內。

• 對於分子分母不可再約分的傳遞函式，由定義易知極點是分母的根，零點是分字的根。

• 對於實係數的傳遞函式來說，一個複數零點/極點的共軛複數一定還是其零點/極點。

  這個性質需要以下結論：係數為實數的一元n次方程的複數解總是共軛地成對出現。

  證明：設\(x_0\)為一元n次方程\(\sum\limits_{i=0}^na_ix^i=0,a\in\mathbb R\)的根，對等式兩邊取共軛有

  \[\sum\limits_{i=0}^na_ix_0^i=0\\ \sum\limits_{i=0}^n\overline{a_ix_0^i}=0\\ \sum\limits_{i=0}^na_i\overline x_0^i=0 \]

  即有\(x_0\)的共軛仍是該方程的根。

  • 部分因式的係數由留數定理確定：\(c_{i,j}=\frac{1}{(j-1)!}\lim_\limits{s\to p_i}\frac{\mathrm{d}^{j-1}}{\mathrm{d}s^{j-1}}(s-p_i)^jG(s)\)。故共軛零點/極點的係數也是共軛的。

構成控制系統的基本元素——一階系統和二階系統

上述系統拆分成的部分因式可以根據極點是哪一種根而分為三類：非重根的實根、非重根的複數根和重根。

• 非重根的實根對應的部分因式表示了一個一階系統
• 非重根的複數根對應的兩個共軛的部分因式之和表示了一個二階系統
• 重根對應的部分因式可以看作是前邊二者在複頻域的導數。

對於後兩種情況，具體算一下來說明：用\(p_i=\sigma_i+j\omega_i\)和\(p_{i+1}=\overline p_i\)表示一對共軛極點，合併二者的部分因式得到：

\[\frac{c_{i,j}}{(s-p_i)^{n_i-j+1}}+\frac{\overline c_{i,j}}{(s-\overline p_i)^{n_i-j+1}} =\frac{c_{i,j}(s-\overline p_i)^{n_i-j+1}+\overline c_{i,j}(s-p_i)^{n_i-j+1}}{[(s-\sigma_i)^2+\omega_i^2]^{n_i-j+1}} \]

• 如果\(p_i\)、\(p_{i+1}\)是非重根的複數根，即\(j=n_i\)的情況，有

  \[\left. [\frac{c_{i,j}}{(s-p_i)^{n_i-j+1}}+\frac{\overline c_{i,j}}{(s-\overline p_i)^{n_i-j+1}}] \right|_{j=n_i} =\frac{s(c_{i,n_i}+\overline c_{i,n_i})-(c_{i,n_i}\overline p_i+\overline c_{i,n_i}p_i)}{(s-\sigma_i)^2+\omega_i^2} \]

  這表示了一個二階系統。

  系統的階次：傳遞函式分母的最高次。

• 如果\(p_i\)、\(p_{i+1}\)是重根的複數根，即\(j<n_i\)的情況，有

  \[\begin{aligned} &\frac{c_{i,j}}{(s-p_i)^{n_i-j+1}}+\frac{\overline c_{i,j}}{(s-\overline p_i)^{n_i-j+1}}\\ =&-\frac{1}{n_i-j}\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}s}[\frac{c_{i,j}}{(s-p_i)^{n_i-j}}+\frac{\overline c_{i,j}}{(s-\overline p_i)^{n_i-j}}] \end{aligned} \]

  對方括號中的內容重複以上操作，可以使\((s-p_i)\)的次數逐漸降低至1，所以其表示的系統的傳遞函式，是一個二階系統的傳遞函式在複頻域的\(n_i-j\)階導數。

由拉普拉斯變換的性質又有

\[\mathcal L[tf(t)]=-\frac{\mathrm d}{\mathrm d s}\tilde f(s) \]

所以如果瞭解了一階系統\(\frac{1}{s-p_i}\)和二階系統\(\frac{\alpha_i s+\beta_i}{(s-\sigma_i)^2+\omega_i^2}\)的時域響應，就可以方便地得到任意部分因式所表示的系統的時域響應，進而通過線性疊加就可以得到任意系統的時域響應。因此，稱一階系統和二階系統是構成控制系統的基本元素

3.2.2 一階系統的暫態響應

單位負反饋形式的一階系統

標準一階系統的微分方程和傳遞函式如下

\[T\dot y(t)+y(t)=r(t)\\ \dot y(t)=\frac{1}{T}[r(t)-y(t)]\\ \Rightarrow \frac{\tilde y(s)}{\tilde r(s)}=\frac{1}{Ts+1} \]

• \(T\)稱為時間常數。

對應的系統框圖如下

單位衝激響應（Unit-Impulse Response）

\[\tilde y(s)=\frac{1}{Ts+1}\\ \Rightarrow y(t)=\frac{1}{T}e^{-\frac{t}{T}},\ t\ge0 \]

注意橫座標的單位是\(T\)，下同。

單位階躍響應（Unit-Step Response）

輸入為階躍函式\(r(t)=u_{-1}(t)\)，有

\[\tilde y(s)=\frac{1}{Ts+1}\cdot \frac{1}{s}=\frac{1}{s}-\frac{1}{s+1/T}\\ \Rightarrow y(t)=1-e^{-\frac{t}{T}},\ t\ge0 \]

• \(y(T)\approx0.632\)，\(y(4T)\approx0.9817\)

• \(\log|y(t)-y(\infty)|\)曲線可以用於辨識一階系統，因為只有一階系統在該曲線中是一條直線：

  \[\log|y(t)-y(\infty)|=-\frac{t}{T} \]

單位斜坡響應（Unit-Ramp Response）

\[\tilde y(s)=\frac{1}{Ts+1}\cdot \frac{1}{s^2}=\frac{1}{s^2}-\frac{T}{s}+\frac{T}{s+1/T}\\ \Rightarrow y(t)=t-T+Te^{-\frac{t}{T}},\ t\ge0 \]

• 可以定義誤差訊號\[e(t)=r(t)-y(t)=T(1-e^{-\frac{t}{T}}) \]

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可以發現單位衝激響應是單位階躍響應的導數，單位階躍響應是單位斜坡響應的導數，這個規律可以推廣到其它LTI（Linear Time-Invariant）系統。

3.2.3 二階系統的暫態響應

標準二階系統

定義如下

\[\frac{\tilde{y}(s)}{\tilde{r}(s)}=\frac{\omega_{n}^{2}}{s^{2}+2 \zeta \omega_{n} s+\omega_{n}^{2}}=\frac{\frac{\omega_{n}^{2}}{s\left(s+2 \zeta \omega_{n}\right)}}{1+\frac{\omega_{n}^{2}}{s\left(s+2 \zeta \omega_{n}\right)}} \]

• 其中\(\omega_n\)稱為無阻尼固有頻率（undamped natural frequency），\(\zeta\)稱為阻尼比（damping ratio）。

• 對於非標準二階系統（分子上帶\(s\)的），響應可能很不一樣，可以化成多個標準系統或標準系統的導數的疊加來進行分析。

• 單位反饋形式的系統框圖如下

單位階躍響應

由單位階躍響應，有\(r(s)=\frac{1}{s}\)。

欠阻尼狀態

有\(0<\zeta<1\)。定義阻尼固有頻率（ damped natural frequency）\(\omega_d\triangleq\omega_n\sqrt{1-\zeta^2}\)，則傳遞函式可以改寫為

\[\frac{\tilde{y}(s)}{\tilde{r}(s)}=\frac{\omega_{n}^{2}}{s^{2}+2 \zeta \omega_{n} s+\zeta^2\omega_n^2+\omega_{d}^{2}}=\frac{\omega_{n}^{2}}{(s+\zeta\omega_n)^{2}+\omega_{d}^{2}} \]

做部分因式分解

\[\tilde y(s)=\frac{\omega_{n}^{2}}{s[(s+\zeta\omega_n)^{2}+\omega_{d}^{2}]}=\frac{c_1}{s}+\frac{c_2}{s+\zeta\omega_n+j\omega_d}+\frac{\overline c_2}{s+\zeta\omega_n-j\omega_d} \]

由留數定理

\[\begin{aligned} c_{1} &=\lim _{s \rightarrow 0} s \cdot \tilde{y}(s)=\frac{\omega_{n}^{2}}{\omega_{n}^{2}}=1 \\ c_{2} &=\lim _{s \rightarrow-\left(\zeta \omega_{n}+j \omega_{d}\right)}\left(s+\zeta \omega_{n}+j \omega_{d}\right) \tilde{y}(s)\\ &=\left.\frac{\omega_{n}^{2}}{s\left(s+\zeta \omega_{n}-j \omega_{d}\right)}\right|_{s=-\left(\zeta \omega_{n}+j \omega_{d}\right)} \\ &=\frac{\omega_{n}^{2}}{2 j \omega_{d}\left(\zeta \omega_{n}+j \omega_{d}\right)}\\ &=-\frac{\omega_n^2}{2\omega_d(\zeta^2\omega_n^2+\omega_d^2)}(\omega_d+j\zeta\omega_n) \end{aligned} \]

帶入化簡得（這一步具體算起來比較麻煩）

\[\begin{aligned} &\frac{c_2}{s+\zeta\omega_n+j\omega_d}+\frac{\overline c_2}{s+\zeta\omega_n-j\omega_d}\\ =&-\frac{s+2\zeta\omega_n}{(s+\zeta\omega_n)^2+\omega_d^2}\\ =&-\frac{s+\zeta\omega_n}{(s+\zeta\omega_n)^2+\omega_d^2}-\frac{\zeta\omega_n}{\omega_d}\frac{\omega_d}{(s+\zeta\omega_n)^2+\omega_d^2} \end{aligned} \]

於是可以進一步化簡複頻域響應

\[\tilde y(s)=\frac{1}{s}-\frac{s+\zeta\omega_n}{(s+\zeta\omega_n)^2+\omega_d^2}-\frac{\zeta\omega_n}{\omega_d}\frac{\omega_d}{(s+\zeta\omega_n)^2+\omega_d^2} \]

定義\(\cos\varphi\triangleq\zeta\)，則時域響應為

\[\begin{aligned} y(t)=&1-\frac{e^{-\zeta\omega_nt}}{\sqrt{1-\zeta^2}}[\sqrt{1-\zeta^2}\cos(\omega_dt)+\zeta\sin(\omega_dt)]\\ =&1-\frac{e^{-\zeta\omega_nt}}{\sqrt{1-\zeta^2}}\sin(\omega_dt+\varphi)\\ =&1-\frac{e^{-\zeta\omega_nt}}{\sqrt{1-\zeta^2}}\sin(\sqrt{1-\zeta^2}\omega_nt+\varphi),\ t\ge 0\\ \end{aligned} \]

具體求解時域響應不是重點，主要是要熟悉\(\zeta\)對標準二階系統暫態響應、極點分佈的影響，下同。

• 暫態響應的時域圖象

  • 注意橫座標單位是\(\omega_n t\)，下同。
  • 波形是被限制在兩個指數衰減函式間的減幅振盪

• \(\zeta\)對欠阻尼狀態二階系統暫態響應的影響

• \(\omega_n\)、\(\omega_d\)、\(\zeta\)和極點在複平面上的關係

臨界阻尼狀態

有\(\zeta=1\)。

\[\tilde y(s)=\frac{\omega_n^2}{s(s+\omega_n)^2}=\frac{1}{s}+\frac{-\omega_n}{(s+\omega_n)^2}+\frac{-1}{s+\omega_n}\\ \Rightarrow y(t)=1-\omega_nte^{-\omega_nt}-e^{-\omega_nt}=1-e^{-\omega_nt}(\omega_nt+1) \]

• 看著像一階系統的階躍相應，不過此處在零時刻輸出的增長速度為0

過阻尼狀態

有\(\zeta>1\)。直接求極點+留數定理算就完啦，結果表示比較複雜，可以用極點

\[\left\{ \begin{aligned} s_1&=-\zeta\omega_n-\omega_n\sqrt{\zeta^2-1}\\ s_2&=-\zeta\omega_n+\omega_n\sqrt{\zeta^2-1} \end{aligned} \right. \]

表示成簡化一些的如下形式

\[\begin{aligned} y(t)=&1+\frac{1}{2\sqrt{\zeta^2-1}}(\frac{e^{-(\zeta+\sqrt{\zeta^2-1})\omega_nt}}{\zeta+\sqrt{\zeta^2-1}}+\frac{e^{-(\zeta-\sqrt{\zeta^2-1})\omega_nt}}{\zeta-\sqrt{\zeta^2-1}})\\ =&1+\frac{\omega_n}{2\sqrt{\zeta^2-1}}(\frac{e^{s_1t}}{-s_1}+\frac{e^{s_2t}}{s_2})\\ \end{aligned} \]

• 當\(\zeta\)較大時，\(e^{s_1t}\)衰減相比\(e^{s_2t}\)將快得多，導致系統的暫態響應主要由\(e^{s_2t}\)影響，於是給像\(s_2\)這樣的極點取了個名字，叫主導極點（本章後面小節還有相關內容）。

\(\zeta\)對標準二階系統的影響

• 觀察上面三種情況的結果，當把\(\omega_nt\)視作一個整體變數後，系統的時域響應只與\(\zeta\)有關。這也即是說，如果兩個標準的二階系統的\(\zeta\)相同，通過調節座標軸的比例可以使它們的時域響應曲線看起來一模一樣。
• \(\zeta<1\)的欠阻尼系統相比其他二者能更快地靠近到目標值，但是存在振盪；\(\zeta=0\)的臨界阻尼系統是無震盪的標準二階系統中最快靠近目標值的。

二階系統的時域指標

因為階躍輸入易於產生，且在數學上有了階躍響應就可以推知任意輸入的響應，所以經常用階躍響應中的一些指標來描述系統的特性。本節即計算欠阻尼二階系統單位階躍響應中的一些常用指標。

• 延遲時間\(t_d\)（delay time）：第一次到達終值的一半的時刻。

• 上升時間\(t_r\)（rise time）：從終值的0%、5%、或10%上升到終值的90%、95%、或100%所需要的時間，對處於不同狀態的二階系統會取不同的範圍，此處取0%~100%。

  令\(y(t_r)=1\)，有

  \[\begin{aligned} 1-\frac{e^{-\zeta\omega_nt_r}}{\sqrt{1-\zeta^2}}\sin(\omega_dt_r+\varphi)&=1\\ \sin(\omega_dt_r+\varphi)&=0\\ \Rightarrow \omega_nt_r=\frac{\pi-\arccos\zeta}{\sqrt{1-\zeta^2}}=\frac{\pi-\varphi}{\sin\varphi} \end{aligned} \]

• 峰值時間\(t_p\)（peak time）：到達超調的第一個頂峰的時刻，這個頂峰一般對應最大超調量。

  時域導數為0時達到峰值，有

  \[\left.\frac{\mathrm d}{\mathrm d t}[1-\frac{e^{-\zeta\omega_nt}}{\sqrt{1-\zeta^2}}\sin(\omega_dt+\varphi)]\right|_{t=t_p}=\frac{\omega_ne^{-\zeta\omega_nt_p}}{\sqrt{1-\zeta^2}}\sin(\omega_dt_p)=0\\ \Rightarrow \omega_nt=\omega_nt_p=\frac{\pi}{\sqrt{1-\zeta^2}}=\frac{\pi}{\sin\varphi} \]

• 最大超調量\(M_p\)（或者是\(\sigma\%\)）（maximum overshoot）：單位化的最大正向誤差。

  如果第一個峰值對應最大超調量，則有\(M_p=\frac{y(t_p)-y(\infty)}{y(\infty)}\)。帶入峰值時間計算可得

  \[M_p=[y(t_p)-1]\times100\%=e^{-\frac{\zeta}{\sqrt{1-\zeta^2}}\pi}\times100\%=e^{-\pi\cot\varphi}\times100\% \]

• 調節時間\(t_s\)（settling time）：該時刻之後，誤差只會在一定範圍（一般取2%~5%）內浮動。

  沒有解析公式且變化不連續，工程上使用經驗公式

  \[\omega_nt_s\approx\frac{4}{\zeta}\quad for\ 2\%\ criterion\\ \omega_nt_s\approx\frac{3}{\zeta}\quad for\ 5\%\ criterion \]

伺服系統的速度反饋

引入速度反饋可能改善系統性能（改變二階系統的\(\zeta\)），這一節介紹了一個例子。一個帶有速度反饋的伺服系統的簡化系統框圖如下

消去內環得到

求其傳遞函式如下

\[\frac{\tilde\theta(s)}{\tilde\theta_r(s)}=\frac{\frac{K}{(Js+B+KK_h)s}}{1+\frac{K}{(Js+B+KK_h)s}}=\frac{K/J}{s^2+(B+KK_h)/J\cdot s+K/J} \]

於是得到

\[\left\{ \begin{aligned} \zeta=&\frac{B+KK_h}{2\sqrt{KJ}}\\ \omega_n=&\sqrt{K/J} \end{aligned} \right. \]

於是，在引入速度反饋後，通過調節\(K_h\)可以在不影響\(\omega_n\)的條件下改變\(\zeta\)（引入速度反饋之前調節\(\zeta\)會同時影響\(\omega_n\)），進而使系統的效能達到需要理想狀態。不過需要注意的是，因為噪聲一般都是高頻的，引入速度反饋可能會放大噪聲。