三點二次插值求單峰函式最小值

測試函式是-x*sin(x)，求其在0~4.5上的最小值。

首先繪圖觀察一下：

fplot(@(x) -x*sin(x),[0,4.5]);
hold on;
fplot(@(x) -sin(x)-x*cos(x),[0,4.5]);
hold off;
legend('f(x)',"f'(x)");
xlabel('x');

[x,fval] = fmincon(@(x) -x*sin(x),2)

x =
2.028757520194786
fval =
-1.819705741159516

可以看到x在2附近f(x)取到最小值。

下面構建三點二次插值函式：

function [p1,fval]=int2p3(f,xinterval)
p0=xinterval(1);
p2=xinterval(2);
p1=(p0+p2)/2;
while true
    x=[p0,p1,p2];
    y=[f(p0),f(p1),f(p2)];
    c=polyfit(x,y,2);
    p1_=-c(2)/2/c(1);
    if f(p1)<f(p1_)
        if p1<p1_
            p2=p1_;
        else
            p0=p1_;
        end
    else
        if p1<p1_
            p0=p1;
            p1=p1_;
        else
            p2=p1;
            p1=p1_;
        end
    end
    if p2-p0<0.001
        fval=f(p1);
        break
    end
end
end

測試：

>> [x,fval]=int2p3(@(x) -x*sin(x),[0,4.5])
x =
2.028757824672632
fval =
-1.819705741159653

點x的迭代過程如下圖：

最後收斂到2.029。