一、題目

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二、解法

這裡只講演算法流程，沒有證明！沒有證明！沒有證明！

我們還是考慮沿用二分圖匹配的思路：找增廣路，我們迴圈 \(1\rightarrow n\) 找到一個沒有匹配的點，然後嘗試尋找它的匹配。我們以它為根對原圖進行 \(\tt bfs\)，並且黑白交替染色，首先我們對根染黑色，然後對所有黑色點 \(u\) 訪問 \(v\)：

• 如果 \(v\) 是一個沒被訪問過的點，考慮如果 \(v\) 沒有被匹配那麼我們就找到了增廣路；如果 \(v\) 被匹配那麼我們把 \(v\) 的匹配點染成黑色，並把它加入 \(\tt bfs\) 佇列中。
• 如果 \(v\) 是一個被訪問過的點，考慮如果 \(v\)
  是白色，即表示 \((u,v)\) 在這棵 \(\tt bfs\) 樹上構成了偶環，可以直接跳過；如果 \(u,v\) 已經在一個縮過的環中那麼跳過；如果 \(v\) 是黑色，那麼出現了奇環，帶花樹演算法就是用來解決這個問題。

帶花樹演算法描述的是，我們此時可以把奇環縮成一個點（稱為縮花），那麼如何縮點呢？考慮使用並查集，初始時每個點的奇環頂點都是自己。縮花的時候先用暴力 \(\tt lca\) 的方法找到環的頂點，我們直接將環上所有結點的父親設定為這個頂點即可。

最後說一下實現中需要維護的重要陣列及維護方法：

• \(fa[x]\)，表示 \(x\) 並查集的父親，縮花的時候維護。
• \(mat[x]\)
  ，表示 \(x\) 的匹配點，在找到增廣路的時候修改。
• \(pre[x]\)，表示依據訪問順序白點 \(x\) 的上一個黑點，注意在縮花的時候需要把花上的 \(pre\) 都改成雙向的，因為花是可以雙向訪問的。

時間複雜度我也不太清楚，但是我感覺是 \(O(|V|\cdot |E|)\) 的啊？

#include <cstdio>
#include <iostream>
using namespace std;
const int M = 1005;
int read()
{
	int x=0,f=1;char c;
	while((c=getchar())<'0' || c>'9') {if(c=='-') f=-1;}
	while(c>='0' && c<='9') {x=(x<<3)+(x<<1)+(c^48);c=getchar();}
	return x*f;
}
int n,m,tim,tot,f[M];
int d[M],pre[M],mat[M],fa[M],bz[M],bp[M];
struct edge
{
	int v,next;
}e[M*M];
int find(int x)
{
	if(x!=fa[x]) fa[x]=find(fa[x]);
	return fa[x];
}
int lca(int x,int y)
{
	tim++;x=find(x);y=find(y);
	while(bp[x]!=tim)
	{
		bp[x]=tim;
		x=find(pre[mat[x]]);
		if(y) swap(x,y);
	}
	return x;
}
void make(int x,int y,int w)
{
	while(find(x)!=w)
	{
		pre[x]=y;y=mat[x];
		if(bz[y]==2) bz[y]=1,d[++d[0]]=y;
		if(find(x)==x) fa[x]=w;
		if(find(y)==y) fa[y]=w;
		x=pre[y];
	}
}
int dfs(int rt)
{
	for(int i=1;i<=n;i++) fa[i]=i,pre[i]=bz[i]=0;
	d[d[0]=1]=rt;bz[rt]=1;int l=0;
	while(l<d[0])
	{
		int u=d[++l];
		for(int i=f[u];i;i=e[i].next)
		{
			int v=e[i].v;
			if(find(u)==find(v) || bz[v]==2) continue;
			if(!bz[v])
			{
				bz[v]=2;pre[v]=u;
				if(!mat[v])
				{
					for(int x=v,y;x;x=y)
						y=mat[pre[x]],
						mat[x]=pre[x],
						mat[pre[x]]=x;
					return 1;
				}
				bz[mat[v]]=1;d[++d[0]]=mat[v];
			}
			else
			{
				int w=lca(u,v);
				make(u,v,w);
				make(v,u,w);
			}
		}
	}
	return 0;
}
signed main()
{
	n=read();m=read();
	for(int i=1;i<=m;i++)
	{
		int u=read(),v=read();
		e[++tot]=edge{v,f[u]},f[u]=tot;
		e[++tot]=edge{u,f[v]},f[v]=tot;
	}
	int ans=0;
	for(int i=1;i<=n;i++) if(!mat[i])
		ans+=dfs(i);
	printf("%d\n",ans);
	for(int i=1;i<=n;i++) printf("%d ",mat[i]);
}