Acwing 第六章 貪心
一、區間問題
思想：
將每個區間按右端點按小到大排序
從前往後依次列舉每個區間，如果當前區間已經包含選擇的點，則直接跳過，否則選擇當前區間的右端點
#include<iostream> #include<cstring> #include<algorithm> using namespace std; const int N = 1e5+10; struct Range { int l; int r; }range[N]; int n; int ans = 1;//預設選一個點表示第一個區間 bool cmp(Range a,Range b) { return a.r < b.r; } int main() { cin>>n; for(int i = 0;i < n;i++) { cin>>range[i].l>>range[i].r; } sort(range,range + n,cmp); //將區間按右端點從小到大排序 int last = range[0].r; for(int i = 1;i < n;i++) { if(range[i].l > last) //由於右端點從小到大排序，若當前區間左端點大於上一區間右端點 //說明二者無交集，不可能用上一區間的點表示本區間，必須在本區間再找一個點 { ans++; last = range[i].r; } } cout<<ans<<endl; return 0; }
908. 最大不相交區間數量
左端點排序做法
#include<iostream> #include<cstring> #include<algorithm> using namespace std; const int N = 1e5+10; struct Range { int l; int r; }range[N]; int n,a,b; int ans = 1; bool cmp(Range a,Range b) { return a.l < b.l; } int main() { cin>>n; for(int i=0;i<n;i++) { cin>>a>>b; range[i] = {a,b}; } sort(range,range+n,cmp); int last = range[n-1].l; for(int i = n-2;i>=0;i--) { if(range[i].r < last) { ans++; last = range[i].l; } } cout<<ans<<endl; return 0; }
906. 區間分組
給定 N 個閉區間 [ai,bi]，請你將這些區間分成若干組，使得每組內部的區間兩兩之間（包括端點）沒有交集，並使得組數儘可能小。
輸出最小組數。
輸入格式
第一行包含整數 N，表示區間數。
接下來 N 行，每行包含兩個整數 ai,bi，表示一個區間的兩個端點。
輸出格式
輸出一個整數，表示最小組數。
資料範圍
1≤N≤105,
−109≤ai≤bi≤109
O(nlogn)
#include<iostream> #include<cstring> #include<algorithm> #include<queue> using namespace std; const int N = 1e5+10; struct Range { int l; int r; }range[N]; int n,a,b; bool cmp(Range a,Range b) { return a.l < b.l; } int main() { cin>>n; for(int i = 0;i < n;i++) { cin>>a>>b; range[i] = {a,b}; } sort(range,range + n,cmp);//按左端點從小到大對區間排序 priority_queue<int,vector<int>,greater<int>>heap; //定義小根堆 for(int i = 0;i < n;i++) { if(heap.empty() || range[i].l <= heap.top()) //組數為0 或者 當前區間左端點比最靠左的組右端點小 //說明不能放進組裡，否則會衝突，因此必須新開一個組 { heap.push(range[i].r); } else //不會發生衝突，可以放進最靠左的組，更新組的最大右端點 { heap.pop(); heap.push(range[i].r); } } cout<<heap.size()<<endl;//堆中元素個數就是組的數量 return 0; }
112
#include<iostream>
#include<cstring>
#include<algorithm>
using namespace std;
const int N = 1e5+10;
struct Range
{
int l;
int r;
}range[N];
int a,b,n;
int st,ed;//線段的左右端點
bool cmp(Range a,Range b)
{
return a.l < b.l;
}
int main()
{
cin>>st>>ed;
cin>>n;
for(int i = 0;i < n;i++)
{
cin>>a>>b;
range[i] = {a,b};
}
sort(range,range+n,cmp); //將區間按左邊界從小到大排序
int res = 0,r = -2e9;//選擇的區間個數，當前選擇區間的右邊界
bool state = false;//當前選擇的所有區間是否已全部包含線段
for(int i = 0;i < n;i++)
{
int j = i;
r = -2e9;
for(j = i;j < n && range[j].l <= st;j++) //找出左端點不大於當前線段且右端點最大的區間
{
r = max(r,range[j].r);
}
if(r < st) //選定區間右端點比線段的左區間還小，說明根本無法覆蓋，直接跳出
{
res = -1;
break;
}
res++; //判斷有覆蓋的可能性後加入當前區間到選擇中，選擇區間總數加1
if(r >= ed) //若當前選定區間右端點大於線段右端點，說明成功覆蓋
{
state = true;
break;
}
st = r;//將start更新成選定區間的右端點
i = j - 1;//for迴圈i也要加，故賦值j-1，主要用於優化演算法
}
if(state == false) res = -1;
cout<<res<<endl;
return 0;
}
二、哈夫曼樹
資料結構課程中學過了，在此不多贅述
148. 合併果子
#include<iostream>
#include<cstring>
#include<algorithm>
#include<queue>
using namespace std;
int n,sum,x;
priority_queue<int,vector<int>,greater<int>>heap;
int main()
{
cin>>n;
for(int i=1;i<=n;++i)
{
cin>>x;
heap.push(x);
}
while(heap.size() > 1)
{
int a = heap.top();
heap.pop();
int b = heap.top();
heap.pop();
sum += a + b;
heap.push(a + b);
}
cout<<sum<<endl;
return 0;
}
三、排序不等式
913. 排隊打水
總時間 = t1 * (n-1) + t2 * (n-2) + …… + tn-1 * 1 + tn * 0
思路
按照從小到大的順序，總時間最小
#include<iostream>
#include<cstring>
#include<algorithm>
using namespace std;
const int N = 1e5 + 10;
int a[N],n;
long long sum;
int main()
{
cin>>n;
for(int i = 1;i <= n;i++) cin>>a[i];
sort(a+1,a+n+1);
for(int i = 1;i <= n;i++)
{
sum += a[i] * (n-i);
}
cout<<sum<<endl;
return 0;
}
#include<iostream>
#include<cstring>
#include<algorithm>
using namespace std;
const int N = 1e5 + 10;
int a[N],n,sum;
int main()
{
cin>>n;
for(int i = 0;i<n;i++) cin>>a[i];
sort(a,a+n);
for(int i = 0;i < n;i++)
{
sum+= abs(a[i] - a[n/2]); //倉庫取在中位數上，使得倉庫在所有a[1]~a[n],a[2]~a[n-1]距離最小
}
cout<<sum<<endl;
return 0;
}
四、推公式
125. 耍雜技的牛
牛的重量和強壯度之和越大，越要放到下面
#include<iostream>
#include<cstring>
#include<algorithm>
using namespace std;
const int N = 50005;
struct cow
{
int w;
int s;
bool operator<(const cow& t)
{
return w+s < t.w + t.s;
}
}cows[N];
int sum[N];
int n,w,s,danger = -0x3f3f3f3f;
int main()
{
cin>>n;
for(int i = 1;i <= n;i++)
{
cin>>w>>s;
cows[i] = {w,s};
}
sort(cows+1,cows+n+1);
for(int i = 1;i <= n;i++)
{
sum[i] = sum[i-1] + cows[i].w;
}
for(int i = 1;i <= n;i++)
{
danger = max(danger,sum[i-1] - cows[i].s);
}
cout<<danger<<endl;
return 0;
}
五、時空複雜度分析
一般ACM或者筆試題的時間限制是1秒或2秒。
在這種情況下，C++程式碼中的操作次數控制在 107∼108107∼108 為最佳。
下面給出在不同資料範圍下，程式碼的時間複雜度和演算法該如何選擇：
n≤30n≤30, 指數級別, dfs+剪枝，狀態壓縮dp
n≤100n≤100 => O(n3)O(n3)，floyd，dp，高斯消元
n≤1000n≤1000 => O(n2)O(n2)，O(n2logn)O(n2logn)，dp，二分，樸素版Dijkstra、樸素版Prim、Bellman-Ford
n≤10000n≤10000 => O(n∗n√)O(n∗n)，塊狀連結串列、分塊、莫隊
n≤100000n≤100000 => O(nlogn)O(nlogn) => 各種sort，線段樹、樹狀陣列、set/map、heap、拓撲排序、dijkstra+heap、prim+heap、Kruskal、spfa、求凸包、求半平面交、二分、CDQ分治、整體二分、字尾陣列、樹鏈剖分、動態樹
n≤1000000n≤1000000 => O(n)O(n), 以及常數較小的 O(nlogn)O(nlogn) 演算法 => 單調佇列、 hash、雙指標掃描、並查集，kmp、AC自動機，常數比較小的 O(nlogn)O(nlogn) 的做法：sort、樹狀陣列、heap、dijkstra、spfa
n≤10000000n≤10000000 => O(n)O(n)，雙指標掃描、kmp、AC自動機、線性篩素數
n≤109n≤109 => O(n√)O(n)，判斷質數
n≤1018n≤1018 => O(logn)O(logn)，最大公約數，快速冪，數位DP
n≤101000n≤101000 => O((logn)2)O((logn)2)，高精度加減乘除
n≤10100000n≤10100000 => O(logk×loglogk)，k表示位數O(logk×loglogk)，k表示位數，高精度加減、FFT/NTT