有序表及其應用
當我們學習了各種各樣的資料結構之後，就會發現它們最終都只有一個目的：提高資料的查詢效率！
當我們以順序表或者連結串列組織資料的時候，查詢一個數據需要O(n)的時間複雜度。可當資料是海量的時候，O(n)的時間複雜度可吃不消。於是一些牛人就發現：如果將資料有序的組織起來，查詢一個數據的時候可以做到O(logn)的時間複雜度。沒錯，這就是基於有序表的二分查詢。
可是，如果資料用連結串列形式組織起來，查詢只能從頭到尾。於是基於鏈式的二分查詢的各種資料結構應運而生：二叉搜尋樹（BST）、平衡二叉樹（AVL）、B樹、B+樹、紅黑樹、跳錶等，這些都可以稱為有序表。
紅黑樹
由於二叉搜尋樹可能有退化成單鏈表的可能，所以出現了平衡二叉樹（AVL）。每當插入一個數據的時候，通過不斷調整樹的結構，使得樹的左右子樹層級不大於1，來保證這顆BST以平衡的姿態使得資料的查詢速度接近於二分法查詢的速度log(n)，從而避免了BST退化成連結串列而降低查詢效率的可能。
可是正是因為這種完美的平衡反而使得它不完美，因為每次插入操作都可能會引起整顆樹通過不斷左旋、右旋操作使其達到完美平衡狀態，反而降低了效率。
所以紅黑樹就是一顆不完美的平衡二叉樹，通過降低一定的平衡，避免每次操作都帶來大量的調整，來提高效率。那麼它是怎麼實現的呢？
性質
一顆紅黑樹必須滿足：
- 節點要麼黑，要麼紅。
- 根結點是黑色的。
- 每個葉子節點nil是黑色的（個人覺得有沒有這個nil葉子節點不影響，只是為了滿足性質4而想象出來的）
- 每個紅色節點的兩個子節點一定是黑色的。
- 任意一個節點到每一個節點的路徑都包含數量相同的黑節點。
紅黑樹的自平衡除了左旋和右旋之外，還有一個變色，即紅變黑，或黑變紅，來滿足性質5。所以完美平衡二叉樹的平衡依據是平衡因子，而紅黑樹平衡的依據是性質5，所以也稱紅黑樹為黑色完美平衡
查詢
紅黑樹的查詢操作和AVL樹一樣，時間複雜度也為O(logn)，主要的區別就是插入操作，多了一步變色。
插入
首先待插入的節點初始時候都是紅色。理由很簡單，紅色在父結點（如果存在）為黑色結點時，紅黑樹的黑色平衡沒被破壞，不需要做自平衡操作。但如果插入結點是黑色，那麼插入位置所在的子樹黑色結點總是多1，必須做自平衡。
然後查詢插入位置插入，再根據不同的情景來自旋，變色來保持平衡。
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當紅黑樹為空樹，直接插入，節點設為黑色。
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當插入節點key已經存在，只需要把節點的值更新即可。
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插入節點的父節點為黑色時候，直接插入。
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插入節點的父節點為紅色時，就需要變色了，因為性質4。
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當叔叔節點存在並且為紅節點時
黑紅紅變為紅黑紅，之後把pp作為新的插入節點去不斷向上調整，如果pp剛好為根節點，那麼需要把它重新變為黑色，黑色節點變增加了。這也是唯一一種會增加紅黑樹黑色節點層數的插入情景。
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叔叔節點不存在或為黑色節點，並且插入節點的父親節點是祖父節點的左子節點
插入節點是父節點的左子節點
插入節點是右子節點
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叔叔節點不存在或為黑色節點，並且插入節點的父親節點是祖父節點的右子節點，這種和上面一樣，方向變了而已。
-
刪除
刪除是紅黑樹最複雜的操作，過程還是兩步：查詢目標節點，刪除後自平衡。
二叉搜尋樹的刪除一共分三步：
- 若刪除結點無子結點，直接刪除
- 若刪除結點只有一個子結點，用子結點替換刪除結點
- 若刪除結點有兩個子結點，用後繼結點（大於刪除結點的最小結點）替換刪除結點，接著遞迴刪除後繼節點。（由於不斷用後繼節點替換當前節點，對於樹來說，真正發生刪除的操作總是發生在樹末，即前兩種情況）
平衡二叉樹和紅黑樹作為特殊的BST也遵循這三步，無非就是刪除後需要調整樹的結構來達到平衡狀態，這裡不再深入。
很多程式語言中的有序表底層結構都是紅黑樹，比如C++中的ordered_map，ordered_set等。
跳錶（Skip List）
跳錶插入、刪除、查詢元素的時間複雜度跟紅黑樹都是一樣量級的，時間複雜度都是O(logn)
我們知道單鏈表的查詢操作只能從頭到尾，而無法通過二分查詢來達到logn級別的查詢效率，而跳錶就是通過在單鏈表上加索引使得連結串列能夠實現二分查詢。
如果每兩個元素建立一個索引節點，（只儲存key和幾個指標，不需要儲存完整的物件）這樣的查詢過程就和二分查詢一樣了，時間複雜度為O(logn)。
所以跳錶就是通過建立索引來提高查詢效率的，典型的“空間換時間”。空間複雜度為O(n)：n/2+n/4+...+2=n-2。
如果每三個節點抽建立一個索引節點，可以減少空間複雜度，但查詢效率也會有一定的下降，所以可以根據不同場景來調整這個閾值。
插入
通過查詢找到待插入資料在原始連結串列中的位置的時候，插入即可。但是如果一直往原始連結串列插入資料而不更新索引的話，極端情況下就會使跳錶退化為單鏈表，所以需要對索引進行維護。
首先需要明白，當資料量足夠大的時候，我們在原始連結串列中隨機的選 n/2 個元素做為一級索引是不是也能通過索引提高查詢的效率。雖然不是每隔一個元素抽取一個索引節點，但對於查詢效率來說，影響不大，尤其是資料量不夠大且抽取足夠隨機的時候。
所以我們維護這樣一個索引：隨機選 n/2 個元素做為一級索引、隨機選 n/4 個元素做為二級索引、隨機選 n/8 個元素做為三級索引，依次類推，一直到最頂層索引。
實現過程：
可以在每次新插入元素的時候，儘量讓該元素有 1/2 的機率建立一級索引、1/4 的機率建立二級索引、1/8 的機率建立三級索引，以此類推，就能滿足我們上面的條件。
當每次有資料插入的時候，先通過概率演算法告訴我們這個元素需要插入到幾級索引中，然後開始維護索引並把資料插入到原始連結串列中。
randomLevel() 方法返回 1 表示當前插入的該元素不需要建索引，只需要儲存資料到原始連結串列即可（概率 1/2）
randomLevel() 方法返回 2 表示當前插入的該元素需要建一級索引（概率 1/4）
randomLevel() 方法返回 3 表示當前插入的該元素需要建二級索引（概率 1/8）
randomLevel() 方法返回 4 表示當前插入的該元素需要建三級索引（概率 1/16）
。。。以此類推
既然返回2的時候是建立一級索引，為什麼概率是1/4呢？不是應該為1/2嘛？
因為當建立二級索引的時候，同時也會建立一級索引；當建立三級索引時，同時也會建立一級、二級索引。
加入此時需要建立二級索引，那麼它的概率為1-1/2-1/4=1/4。
整個維護索引的操作無非是在查詢的過程新增一個索引節點而已，每層插入的時間複雜度為O(1)，所以整個插入操作時間複雜度為O(logn)。
刪除
刪除操作無非是在查詢的過程中順便刪掉每層索引的節點，時間複雜度也是O(logn)。
總結
- 跳錶是可以實現二分查詢的有序連結串列；
- 每個元素插入時隨機生成它的level；
- 最底層包含所有的元素；
- 如果一個元素出現在level(x)，那麼它肯定出現在x以下的level中；
- 每個索引節點包含兩個指標，一個向下，一個向右
Redis中的有序集合zset底層就是跳錶，為什麼不使用紅黑樹呢？
因為zset支援範圍查詢，按照區間查詢資料時，跳錶可以做到 O(logn) 的時間複雜度定位區間的起點，然後在原始連結串列中順序往後遍歷就可以了，非常高效。而紅黑樹底層是一顆二叉搜尋樹，它的有序性必須通過中序遍歷來實現，效率沒那麼高。
B樹（B-tree）
B樹和平衡二叉樹稍有不同的是B樹屬於多叉樹又名平衡多路查詢樹（查詢路徑不只兩個，即每個節點可以擁有更多的子節點，每個節點也可以含有多個關鍵字。
B-樹有如下特點:
- 所有鍵值分佈在整顆樹中（索引值和具體data都在每個節點裡）；
- 任何一個關鍵字出現且只出現在一個結點中；
- 搜尋有可能在非葉子結點結束（最好情況O(1)就能找到資料）；
- 在關鍵字全集內做一次查詢,效能逼近二分查詢；
B-樹是專門為外部儲存器設計的，如磁碟，它對於讀取和寫入大塊資料有良好的效能，所以一般被用在檔案系統及資料庫中。
傳統用來搜尋的平衡二叉樹有很多，如 AVL 樹，紅黑樹等。這些樹一般應用於載入到記憶體中的資料的查詢。而當資料量非常大時，記憶體不夠用，大部分資料只能存放在磁碟上，只有需要的資料才載入到記憶體中。一般而言記憶體訪問的時間約為 50 ns，而磁碟在 10 ms 左右。速度相差了近 5 個數量級，磁碟讀取時間遠遠超過了資料在記憶體中比較的時間。所以B樹通過降低樹的高度，來減少磁碟IO的數量。
查詢
多叉的好處很明顯，就是為了降低樹的高度，因為一次向下查詢要讀去一次磁碟IO，一般一顆B-樹的高度在3層左右。
B樹的每個節點，都是存多個值的，不像二叉樹那樣，一個節點就一個值，B樹把每個節點都給了一點的範圍區間，區間更多的情況下，搜尋也就更快了，比如：有1-100個數，二叉樹一次只能分兩個範圍，0-50和51-100，而B樹，分成4個範圍 1-25， 25-50，51-75，76-100一次就能篩選走四分之三的資料。所以作為多叉樹的B樹是更快的。
一般根節點是被載入到記憶體中的，查詢時先在節點內部做二分查詢，然後定位下一次要查詢的節點，進行一次磁碟IO，接該節點讀入記憶體，接著在記憶體中進行二分查詢，直到找到key。
B+樹
B+樹是B-樹的變體，也是一種多路搜尋樹, 它與 B- 樹的不同之處在於:
- 所有關鍵字儲存在葉子節點出現,內部節點(非葉子節點）並不儲存真正的 data
- 為所有葉子結點增加了一個鏈指標，使得B+樹可以順序訪問
因為內節點並不儲存 data，所以一般B+樹的葉節點和內節點大小不同，而B-樹的每個節點大小一般是相同的，為一頁。
查詢
B+樹內節點不儲存資料，所以它的查詢時間複雜度固定為O(logn)，而B-樹不固定，最高位O(1)。
由於B+樹葉節點兩兩相連，所以可以使用範圍查詢，大大增加區間訪問性，B-樹不支援範圍查詢。
B+樹比B-樹更適合外部儲存，因為內節點無data域，每個節點可以索引的範圍更大更精確。
磁碟儲存的最小資料單元是扇區——512位元組
檔案系統最小單元是塊——4k，一個檔案大小為1位元組，但也不得不佔用磁碟上4KB的空間
InnoDB儲存引擎最小儲存單元是頁——16k（也可以通過引數設定）,假設一行資料1k，一頁就可以儲存16行這樣的資料。
資料庫如何通過B+樹來組織資料的？
首先所有資料分別存放在不同的頁中，除了存放資料的頁，還有存放key+指標的索引頁，也就是B+樹中的內節點，這種頁稱為索引組織表。
查詢過程就是B+樹的查詢過程，我們通過這棵B+樹來查詢，首先找到根頁，你怎麼知道user表的根頁在哪呢？
其實每張表的根頁位置在表空間檔案中是固定的，即page number=3的頁
通常一顆B+樹可以存放多少行資料呢？
上文我們已經說明單個葉子節點（頁）中的記錄數=16K/1K=16。（這裡假設一行記錄的資料大小為1k，實際上現在很多網際網路業務資料記錄大小通常就是1K左右）。
那麼現在我們需要計算出非葉子節點能存放多少指標？
其實這也很好算，我們假設主鍵ID為bigint型別，長度為8位元組，而指標大小在InnoDB原始碼中設定為6位元組，這樣一共14位元組
我們一個頁中能存放多少這樣的單元，其實就代表有多少指標，即16384/14=1170。
根據同樣的原理我們可以算出一個高度為3的B+樹可以存放：1170 * 1170 * 16=21902400條這樣的記錄。
所以在InnoDB中B+樹高度一般為1-3層，它就能滿足千萬級的資料儲存，一般一張表對應一顆B+樹。
在查詢資料時一次頁的查詢代表一次IO，所以通過主鍵索引查詢通常只需要1-3次IO操作即可查詢到資料。
Mysql索引為什麼使用B+樹而不是其他樹？
因為B樹不管葉子節點還是非葉子節點，都會儲存資料，這樣導致在非葉子節點中能儲存的指標數量變少
指標少的情況下要儲存大量資料，只能增加樹的高度，導致IO操作變多，查詢效能變低；
字典樹
字典樹是一種空間換時間的資料結構，又稱Trie樹，字首樹，典型用於統計、排序、和儲存大量字串。所以經常被搜尋引擎系統用於文字詞頻統計。它的優點是：利用字串的公共字首來減少查詢時間，最大限度地減少無謂的字串比較，查詢效率比雜湊樹高。
性質
1：根節點不包含字元，除了根節點每個節點都只包含一個字元。root節點不含字元這樣做的目的是為了能夠包括所有字串。
2：從根節點到某一個節點，路過字串起來就是該節點對應的字串。
3：每個節點的子節點字元不同，也就是找到對應單詞、字元是唯一的。
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