密碼學中經常需要使用到數論知識

再加上不少學長說信安數基這門課很難

因此我決定在假期先學學信安數基

我使用的是清華大學出版社的版本

第一章：整數的可除性

整除：a,b為任意整數，若存在整數q使得a=qb，則稱b整除a，稱a為b的倍數，b為a的因數

素數：對除0與±1以外的整數，若它除了±1與±n以外沒有其他因數，則稱他為素數（或質數），否則稱它為合數

　　推論1：若n是質數，則-n也是質數；若n是合數，則-n也是合數

　　推論2：設n是一個正合數，p是n的一個大於1的最小正因數，則p一定是質數

　　推論3：對整數a，若對任意屬於[2，根號n]的整數b，b都不是a的因數，則a是質數

這三個推論都較為顯然，藉此，可以得到一種快速找到某範圍內質數的演算法

erratosthenes篩法：對於給定的正整數N，要求找到不大於N的所有質數，只需要列出從2到N的所有整數，並從中刪去從2到根號N的所有質數的倍數（除它們本身）即可

　　例：要找出從2到16的所有質數，只需要列出2到4間的所有質數（2與3），然後從2到16間刪去它們的倍數即可

歐幾里得除法：設a，b是兩個整數，其中b>0，對任意整數c，存在唯一的整數q，r使得a=qb+r　　其中c<=r<b+c

　　證明：存在性：考慮一個整數序列-3b+c,-2b+c,-b+c,c,b+c,2b+c.....,，它將實數軸氛圍了若干個長度為b的取件，a一定落在某個區間之中，則q，r一定存在

　　　　 唯一性：如果分別有q，r與s，t滿足以上性質，則a=qb+r=sb+t,則(q-s)b=t-r;　　q不等於r時,左邊的絕對值大於等於b，右邊的絕對值小於b，矛盾

　　雖然c是可以任取的整數，但是我們一般只會取幾個特殊的值(括號內為b=4時的例子)

　　c=0　　　　此時r稱為最小非負餘數 （0123）

　　c=1　　　　此時r稱為最小正餘數 （1234）

　　c=-b+1　　 此時r稱為最大非正餘數 （0，-1，-2，-3）

　　c=-b　　　 此時r稱為最大負餘數 (-1,-2,-3,-4)

　　c=[-b/2]時 此時稱r為絕對值最小余數（-2，1，0，1）

進位制：設b是大於1的整數，則每個正整數n可唯一表示成∑a_k

　　顯然，任意整數進位制的表示是一定存在的並且是唯一的，這一點顯而易見，因此這部分暫且略過

運算時間估計：
　　O符號：設f（n）與g（n）都是正整數n的正值函式，若存在正常數C使得對任意n,f（n）≤Cg（n），稱g（n）位f（n）的界，記作f=O（g）

　　運算時間：考慮到計算機使用的是位元運算，則

　　　　a+b的運算時間為O（max（log₂ a，log₂ b））

　　　　a-b的運算時間為O（max（log₂ a，log₂ b））

　　　　a*b的運算時間為O（log₂ a，log₂ b）

　　　　a/b的運算時間為O（log₂ a，log₂ b）　　　　（歐幾里得除法）

最大公因數：如果若干整數不全為0，那麼它們的共同因數中最大的數就是它們的最大公因數，記作（a1,a2,......,a_k）

　　特別地，若若干整數的最大公因數為1，則稱它們互質

　　推論1：若干個數的所有公因數都是它們最大公因數的因數

　　推論2：a1a2......ak的最大公因數是s1a1+s2a2+......+skak的最小值且該集合中的所有數都是它的倍數且這樣的s一定存在

　　推論3：若a,b,c為3個不全為0的整數，且a=qb+c，則ab的最大公因數與bc的最大公因數相同

　　　　證明：設d=（a，b）　　e=（b,c） 　　由推論2，d是a-qb=c的因數，因此d≤e,而e是qb+c=a的因數，則e≤d,則d=e

　　由推論3，可以得到一種計算兩數最大公因數的方法

　　廣義歐幾里得除法：計算兩數ab的最大公因數，只需反覆用除數除以餘數直到整除為止即可，最大公因數為最後一個非零餘數

　　　　由數學歸納法可推出，計算次數n滿足b≥(1/√5)(((1+√5)/2)ⁿ⁺¹-((1-√5)/2)ⁿ⁺¹)

　　　　之後可以進一步推出，計算所需時間為O（log a*log b*log b）　　　　(a>b時)