ll

橢圓的標準方程準確來說是在這個位置擺放的橢圓的方程。

圖中的 \(C\) 是一個動點，橢圓的一個定義是，\(|AC|+|BC|=定值\)，一般設這個定值為 \(2a\)。

\(|AB|\) 稱為焦距，一般設為 \(2c\)。

一般設一個 \(b=\sqrt{a^2-c^2}\)，可以看出在圖中所示的位置 \(|CD|=b\)。

很容易可以看出 \(b\) 是橢圓的短半軸長，另外，\(a\) 是橢圓的長半軸長。

橢圓的離心率是 \(e=\cfrac ca\)，\(\dfrac ca=\sqrt{\dfrac{c^2}{a^2}}=\sqrt{\dfrac{a^2-b^2}{a^2}}=\sqrt{1-\dfrac{b^2}{a^2}}\)

，可以看出，橢圓越扁，或者說越苗條，這個離心率就越大，同時 \(c=\sqrt{a^2-b^2}\) 也越大，也就是說可以把離心率理解成兩個焦點偏離中心的程度，而且這個離心率的大小在 \((0,1)\) 之間。

---

現在推導橢圓方程。

\[\begin{align} \sqrt{(x+c)^2+y^2}+\sqrt{(x-c)^2+y^2}&=2a\\ (x+c)^2+y^2&=4a^2+(x-c)^2+y^2-4a\sqrt{(x-c)^2+y^2}\\ a-\frac cax&=\sqrt{(x-c)^2+y^2}\\ (a-\frac cax)^2&=(x-c)^2+y^2\\ (\frac{c^2}{a^2}-1)x^2-y^2&=c^2-a^2\\ \frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{c^2-a^2}&=1\\ \frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}&=1 \end{align} \]

---

這個方程可以有一些變形。

可以發現，橢圓的關鍵資料就是 \(a,b,c\)。

那麼，如果長軸沿著 \(y\) 軸呢？嘗試後可以發現，把標準方程的 \(x\) 和 \(y\) 交換就行了。

但是現在標準方程所能表示的也只有中心在原點，長軸平行於 \(x\) 或 \(y\) 軸的橢圓，雖說可以通過簡單的平移讓標準方程能表示的橢圓變多，但標準方程是不能表示平面中所有橢圓的。

順便一提，當 \(a=b\) 時，橢圓變成一個圓，離心率為 \(0\)，而且橢圓的方程此時也變成了圓的方程。