474. 一和零

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給你一個二進位制字串陣列 strs 和兩個整數 m 和 n 。

請你找出並返回 strs 的最大子集的長度，該子集中 最多 有 m 個 0 和 n 個 1 。

如果 x 的所有元素也是 y 的元素，集合 x 是集合 y 的 子集 。

示例 1：

輸入：strs = ["10", "0001", "111001", "1", "0"], m = 5, n = 3
輸出：4
解釋：最多有 5 個 0 和 3 個 1 的最大子集是 {"10","0001","1","0"} ，因此答案是 4 。
其他滿足題意但較小的子集包括 {"0001","1"} 和 {"10","1","0"} 。{"111001"} 不滿足題意，因為它含 4 個 1 ，大於 n 的值 3 。
 

示例 2：

輸入：strs = ["10", "0", "1"], m = 1, n = 1
輸出：2
解釋：最大的子集是 {"0", "1"} ，所以答案是 2 。

提示：

• 1 <= strs.length <= 600

• 1 <= strs[i].length <= 100

• strs[i] 僅由 '0' 和 '1' 組成

• 1 <= m, n <= 100

解題思路

該題可以轉為01揹包問題。將揹包看成有兩個口袋，一個口袋裝0，一個口袋裝1，而strs中每個物品的重量有兩個維度，一個重量維度是0的個數，另一個重量維度是1的個數。

1. 確定dp陣列以及其下標的含義

   該題的dp陣列是一個二維陣列(是因為物品的重量有兩個維度，本質還是

   01揹包中的一維陣列，而不是01揹包中的二維陣列(此二維陣列有一維表示的是揹包的容量))。

   dp[i][j]表示最多有i個0和j個1的strs的最大子集的長度。

2. 確定遞推公式

   • 當物品[i][j]裝不進揹包時，當前的dp[i][j] = 之前的dp[i][j]

   • 當物品[i][j]裝不進揹包時，可以選擇裝或不裝

     • 選擇不裝，當前的dp[i][j] = 之前的dp[i][j]

     • 選擇裝，當前的dp[i][j] = 之前的dp[i - 當前物品中0的個數][j - 當前物品中1的個數] + 1

   所以可以得到遞推公式： dp[i][j] = max (dp[i][j], dp[i - 當前物品中0的個數][j - 當前物品中1的個數] + 1)

3. dp陣列的初始化

   與一維01揹包類似。dp[0][0] = 0（揹包容量為0）。另外因為揹包問題中的物品價值都為正整數，必須保證取到最大值，所以其餘的dp[i][j]也都初始化為0

4. 確定遍歷順序

   先遍歷物品，後遍歷揹包容量並且是從後向前遍歷。

C++

class Solution {
public:
    int findMaxForm(vector<string>& strs, int m, int n) {
        // 1.dp[i][j]表示最多有i個0和j個1的strs的最大子集的大小
        // 3.dp初始化：因為物品價值不會是負數，dp初始為0，保證遞推的時候dp[i][j]不會被初始值覆蓋。
        vector<vector<int>> dp(m + 1, vector<int>(n + 1, 0)); // m是0的個數，n是1的個數
        // 首先遍歷物品，計算每個物品中0的個數和1的個數
        for(int k = 0; k < strs.size(); k++) {
            int zeroNum = 0, oneNum = 0;
            for (char c : strs[k]) {
                if (c == '0') {
                    zeroNum++;
                } else {
                    oneNum++;
                }
            }
            // 遍歷揹包容量(類似於一個揹包有兩個小包，第一個小包裝0，第二個小包裝1)
            for (int i = m; i >= zeroNum; i--) {
                for (int j = n; j >= oneNum; j--) {
                    // 2.遞推公式
                    dp[i][j] = max(dp[i][j], dp[i - zeroNum][j - oneNum] + 1);
                }
            }
        }
        return dp[m][n];
    }
};

JavaScript

/**
 * @param {string[]} strs
 * @param {number} m
 * @param {number} n
 * @return {number}
 */
var findMaxForm = function(strs, m, n) {
    const dp = Array(m + 1);
    for (let i = 0; i < m + 1; i++) {
        dp[i] = Array(n + 1).fill(0);
    }
    // 遍歷物品
    for (const s of strs) {
        let zeroNum = 0,
            oneNum = 0;
        for (const c of s) {
            if (c === '0') {
                zeroNum++;
            } else {
                oneNum++;
            }
        }
        //遍歷揹包
        for (let i = m; i >= zeroNum; i--) {
            for (let j = n; j >= oneNum; j--) {
                dp[i][j] = Math.max(dp[i][j], dp[i - zeroNum][j - oneNum] + 1);
            }
        }
    }
    return dp[m][n];
};

• 時間複雜度：O(k*m*n)，k是strs的大小，m是題目中要求的0的個數，n是題目要求的1的個數

• 空間複雜度：O(m*n)