字尾陣列題目選講

複習題：luogu題單

CNOI的題

\(1.\)NOI2015 品酒大會

題意：\(\forall i∈[0,n)\)求有多少對字尾滿足\(lcp \ge i\)​,以及滿足條件的兩個字尾的權值乘積的最大值。

我們統計出對於\(1...n\)中的每個\(i\)統計一下有多少個\(lcp=i\)再做個字尾和。

因為\(lcp(i,j)=min_{i<k \le j}{heiht_k}\)，我們考慮每個\(heiht_k\)能產生的貢獻是一段區間。

這個是個單調棧經典問題，求出包含\(heigt_k\)且\(heigt_k\)是最大值的最長區間，然後左右長度相乘即可。

而最值可以用\(st\)

\(2.\)​NOI2016 優秀的拆分

計算出\(st_i\)​​​表示以\(i\)​​​​開頭的\(AA\)​​​串個數，\(ed_i\)​​​表示以\(i\)​​​結尾的\(AA\)​​​串個數，我們用\(hash\)​​可以\(O(1)\)​​判斷一個子串是否為\(AA\)​​串，答案就是\(\sum_{i=1}^{n-1}st_{i+1}\times ed_i\)​​，複雜度\(O(n^2)\)​​，這樣就可以拿到\(95pts\)​了​​​​​​，最後5pts打表就行了。

考慮如何更快的求出\(st\)​和\(ed\)

設\(lcp(i,j)\)​​為以\(i,j\)​字尾開頭的最長公共字首，\(lcs(i,j)\)​為以\(i,j\)​字尾結束的最長公共字尾，這個可以建正反串字尾陣列求出。考慮兩個相鄰的關鍵點\(i,j\)​，其中\(i+l=j\)​ ，那麼顯然當\(lcp(i,j)+lcs(i,j) \ge L\)​時產生了貢獻，貢獻為\(lcp(i,j)+lcs(i,j)-L+1\)​​

如圖紅色是\(i,j\)​，藍色和綠色分別是\(lcp\)​和\(lcs\)​，其中粉色是\(AA\)​串，而這個\(AA\)​串可以一直向後滑動到棕色部分，滑動中經過的串的個數就是\(lcp(i,j)+lcs(i,j)-L+1\)​​，所以我們把紅色加粗部分的所有\(st_i\)​加\(1\)​，把綠色加粗部分的所有\(ed_i\)​加\(1\)​，這個用差分實現即可。

複雜度：\(O(nlog_2n+n+\frac n 2+\frac n 3+...+1) \approx O(n \log_2 n)\)​

\(3\)​​.NOI2018 你的名字

題意: 給你一個字串\(S\), 多次詢問給定一個\(T\), 求\(T\)中不在\(S[l...r]\)​中出現的本質不同的子串個數。

老套路，把詢問離線，把所有串用一個特殊字元連在一起做字尾陣列。

我們按順序列舉\(T\)​​的每個字尾\(i\)​​，我們求出最大的長度\(L\)​​使得\(\large T[i,i+L-1]\)​​是\(S[l...r]\)​​的子串，那麼長度小於\(L\)​​的顯然都不滿足條件，可以直接計算。這個\(L\)​​是可以二分的，但是我們發現所有的\(i+L-1\)​​這個位置隨著\(i\)​​的增大是單調上升的，所以雙指標即可。

所以現在只要判斷一個\(L\)​是否可行。事實上就是查詢\(S[l...r-L+1]\)中是否存在一個\(k\)使得\(lcp(k,i) \ge L\)​，我們先求出滿足這個條件的\(k\)在後綴陣列上的區間\([Le,Ri]\)，然後判斷\([Le,Ri]\)中是否存在一個字尾\(k \in [l,r-L+1]\)​，使用主席樹查詢即可。

用本質不同子串個數減去上述得到的答案即可。

時間複雜度\(O(nlog_2n)\)，注意常數。

\(4.\)​[HEOI2016/TJOI2016 字串

考慮二分答案，二分一個\(L\)只需要判斷是否存在一個\(k \in [b-L+1,b]\)使得\(lcp(k,c)=L\)，根據上題的做法，先二分出在後綴陣列的對應的區間\([Le,Ri]\)​，然後主席樹查詢即可。

時間複雜度\(O(nlog_2^2n)\)

CF的題

\(5.\)​CF504E

先樹剖再按\(dfn\)序建立正反字尾陣列，跳重鏈的時候記錄下重鏈的左右端點，然後拼起來。

每次我們用\(st\)表求出\(lcp(i,j)\)​然後根據長度判斷是否還能向擴充套件。

因為兩個點之間重鏈個數最多隻有\(2log_2n\)個，所以我們最多比較\(4log_2n\)次。

這個做法常數很小，最慢的點只要2s，目前我的賬號周小涵是\(luogu\)​​​的最優解。

\(6\).CF666E

老套路，把所有串用一個特殊字元連在一起做字尾陣列。

容易發現答案就是對於所有滿足\(lcp(pl,k) \ge pr-pl+1\)​中\(col_k \in [l,r]\)​的眾數。

我們考慮將詢問按 \(pr-pl+1\)​ 從大到小排序，再把\(heiht_i\)​ 也從大到小排序，用兩個指標，一個指向當前詢問，一個指向當前的\(heiht_i\)​，我們將所有\(height_i \ge pr-pl+1\)​的進行合併操作。也就是把\(i\)​和\(i-1\)​​​​所在的集合合併，用資料結構維護眾數即可，很顯然用並查集+線段樹合併可以很好的維護這個資訊。這題的做法和noip2013 貨車運輸的思想是一樣的，所以事實上也可以用\(kruskal\)​​重構樹維護眾數。

\(7.\)CF1037H

我們列舉答案與\(T\)的\(lcp\)長度\(L\)，找出在後綴陣列上對應的區間\([l,r]\)，因為新增一個字元只會使區間縮小，所以我們用兩次二分可以確定新一輪\([l,r]\)。

我們再枚第\(L+1\)​個應該填什麼字元，這個字元應滿足字典序是大於原字串的對應位置的字元，按照上述同樣的方法求出\([l,r]\)​，然後判斷\([l,r]\)​中是否\(\exist~sa_k\in[Le,Ri-L]\)​，這個用主席樹維護即可。