一、向量和標量

向量：包含了模和方向。如 以10km/h的速度向北騎行。

區別於點：向量是一個相對量，所在位置不重要，只要模和方向一致就是相等的。而點表示的就是一個位置。

標量：只有模沒有方向。如 家距離學校1公里。

向量運算：記住向量的位置並不重要，可以通過移動向量的位置，來做向量運算。

B點到A點的位移可以用a-b得到的矢量表示。

單位向量：在實際使用中，我們常常只關注向量的方向，不關注大小，把向量轉換成單位向量的過程叫做歸一化。

數學公式是：單位向量=向量/向量的模

向量乘法：點積和叉積 （重中之重!!!）

點積：結果是一個標量，表示兩個向量的相似度，值越大越相似。

數學公式一：a·b = (a_x

幾何意義：a·b等同於b在a方向上的投影值再乘以a的長度。

數學公式二：a·b = |a||b|cosθ

叉積：結果是一個向量，表示兩個向量組成平面的法向量。

數學公式一：a×b = (a_x,a_y,a_z)×(b_x,b_y,b_z) = ( a_yb_z-a_zb_y ,a_zb_x-a_xb_z,a_xb_y-a_yb_x )

a_x a_y a_{z 很不好記吧。下次遇到怎麼辦呢？先在草稿紙上把兩個向量列出來，如左邊所示。}

求x要遮住第一列，然後按yz的順序，畫叉叉。

b_x b_y b_{z 求y要遮住第二列，然後按zx的順序，畫叉叉。}

_{求z要遮住第三列，然後按xy的順序，畫叉叉。}

數學公式二：|a×b| = |a||b|sinθ

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例題：場景中有一個NPC位於點P處，他的前方用向量V表示，玩家在X點處。

Q1: 判斷玩家在NPC的哪個方向？　　(X-P)·V 大於0表示玩家和NPC之間的夾角<90°，玩家在NPC前方。小於0表示夾角>90°，玩家在NPC後方。等於0表示夾角=90°，玩家在NPC左/右。

Q2: NPC的視角角度是φ，判斷玩家是否在NPC視角內？ 全視角角度是φ，代表能看到左右φ/2的角度。通過點乘 (X-P)·V=|(X-P)||V|cosθ 公式反求得cosθ，cosθ>=cosφ/2表示θ<=φ/2，能看見。

Q3：NPC的觀察距離也有限制？ |X-P| <= 觀察距離

二、矩陣

1. 方塊矩陣(方陣)：行和列相等的矩陣。

2. 對角矩陣：除了對角線上的元素外其餘都為0。

3. 單位矩陣：對角線上元素都是1的對角矩陣，任何矩陣乘以單位矩陣都還是原來的矩陣。

4. 轉置矩陣：轉換行列矩陣，r×c變成c×r矩陣，C_ij 變成C_ji。(AB)^T = B^T A^T 。

5. 逆矩陣：方陣乘以它的逆矩陣結果為單位矩陣。一個矩陣可以表示一個變換，那麼逆矩陣就可以還原這個變換。

6. 正交矩陣：方陣乘以它的轉置矩陣結果為單位矩陣。欸？跟上一個好像。所以也有，正交矩陣的轉置矩陣和逆矩陣相等。

這有什麼用呢？因為Shader裡經常需要求還原矩陣，可以用這個性質直接求轉置矩陣更簡單。

但要先判斷是否是正交矩陣，所以就有了更重要的推論：正交矩陣的每一行/列元素是單位向量，而且元素之間互相垂直。

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矩陣的幾何意義：可以用矩陣來表示一個變換，這個變換包括：旋轉、縮放、平移。

基礎變換矩陣共同點：[M_3×3 t_3×1]

[0_1×3 1]

M表示旋轉和縮放，t表示平移。

所以，平移矩陣的長相應該只跟t有關，M是單位矩陣表示不做旋轉和縮放變換。

平移矩陣：[1 0 0 t_x]

[0 1 0 t_y]

[0 0 1 t_z]

[0 0 0 1]

所以，縮放矩陣跟M有關。

縮放矩陣：[k_x 0 0 0]

[0k_x 0 0]

[0 0k_x 0]

[0 0 0 1]

旋轉矩陣，這就比較複雜了，繞x,y,z軸旋轉的矩陣不一樣！不過旋轉矩陣是正交矩陣。

繞X軸旋轉θ度：[10 0 0]

[0 cosθ-sinθ 0]

[0sinθ cosθ0]

[0 0 0 1]

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繞Y軸旋轉θ度：[cosθ 0sinθ 0]

[0 10 0]

[-sinθ 0cosθ0]

[0 0 0 1]

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繞Z軸旋轉θ度：[cosθ-sinθ 00]

[sinθcosθ 0 0]

[0010]

[0 0 0 1]

複合變換：既旋轉又縮放還平移。我們約定的變換順序是：先縮放，再旋轉，後平移。如果用數學表示式，那麼這是三個矩陣，計算順序從右往左。

三、空間變換

1.模型空間（區域性空間）：看到區域性你應該懂了。對應Unity裡的區域性座標。

2. 世界空間：根據上一個你應該也懂了。對應Unity裡的世界座標。

3. 觀察空間（攝像機空間）：你要看模型的正面，那麼相機的正向和模型的正向是對著的。所以觀察空間的座標系是不一樣的。觀察空間是右手座標系，Z軸是反的。

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說到這裡不得不說說頂點著色器。

頂點著色器通常串聯成一個MVP矩陣，第一步做模型變換（將頂點座標從模型空間轉換到世界空間）；

第二步做觀察變換（頂點座標從世界空間轉換到觀察空間）；

第三步做投影變換（頂點座標從觀察空間轉換到裁剪空間）。

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