\(\texttt{Qtree}\) 系列樹剖題解（告別 \(\texttt{LCT}\) !）

前言

眾所周知 Qtree 系列是 LCT 的題目

但由於蒟蒻平衡樹寫的fhq，不會Splay，所以蒟蒻不會 LCT，所以蒟蒻決定用樹剖寫完 Qtree 系列的所有題

QTREE - Query on a tree

直接樹剖加線段樹，每個點的權值為指向父親的邊權。

注意不要把 LCA 算進去了

Luogu 的 vjudge 只能用 C語言 ，害得我 CE 了一頁

關於本題 C 語言的 \(\texttt{Tips}\) :

1. 不要用 inline
2. 標頭檔案選擇 #include <ctype.h>
   和
   #include <stdio.h> 就夠了
3. 不要快讀，只能用 scanf 和 printf
4. 沒有 max 和 swap 函式，要自己手寫
5. 沒有 const
6. 不能 using namespace std;
7. 沒有 string 型別
8. 函式間不能用 , ，比如不能寫 dfs(1), dfs(2);，只能寫 dfs(1); dfs(2);

希望你能少 CE 一點

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QTREE2 - Query on a tree II

路徑和可以樹上字首和

求第 \(k\) 個點時先判和 LCA 的關係，如果大於 \(dep_u - dep_{lca}\) ，就找 \(v\) 的 \(len - k\)

LCA 用重剖，\(k\) 級祖先用長剖，總時間 \(O(nlogn)\)

長剖寫錯，多測不清空會 RE！！！

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QTREE3 - Query on a tree III

線段樹維護區間最淺點，查詢向上跳就行了

最簡單的一題 （要不是 Qtree1 只能寫 C語言）

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QTREE4 - Query on a tree IV

難度陡然上升

先樹剖，並對每條重鏈開一棵線段樹

對於線段樹上的一個節點 \(p\)，其對應區間為 \([L,R]\)（重鏈上的一條路徑）

記 \(lmx_p\) 表示從 \(L\) 出發，在 \([L,R]\)

考慮線段樹合併

記當前線段樹上節點為 \(p\)，區間為 \([L,R]\) ，左右兒子分別為 \(ls\) 對應\([L,mid]\)，\(rs\) 對應 \([mid+1,R]\)

\(lmx_p=\max\{lmx_{ls},dis(L,mid+1)+lmx_{rs}\}\)

\(rmx_p=\max\{rmx_{rs},dis(mid,R)+rmx_{ls}\}\)

\(mx_p=\max\{mx_{ls},mx_{rs},rmx_{ls}+dis(mid,mid+1)+lmx_{rs}\}\)

接下來考慮邊界（線段樹葉子節點）

記當前線段樹上節點為 \(p\)，對應 \([L,L]\)

記 \(d_i, d’_i\) 表示以 \(i\) 為根的輕子樹內，根到白點的最遠距離和次遠距離，不存在即為 \(-\infty\)

當 \(L\) 為白點時：

\(lmx_p=rmx_p=\max\{0,d_L\}\)

\(mx_p=\max\{0,d_L,d_L+d'_L\}\)

當 \(L\) 為黑點時：

\(lmx_p=rmx_p=d_L\)

\(mx_p=d_L+d'_L\)

\(d\) 和 \(d’\) 如何維護？

記當前節點為 \(u\) ，它的一個輕兒子為 \(v\)

由於 \(u\) 在重鏈上，\(v\) 是 \(u\) 的輕兒子，所以 \(v\) 一定是另一條重鏈的開端

所以 \(v\) 的 dfn 就是 \(v\) 所在的這條重鏈所對應區間的左端點

所以從 \(v\) 出發到其子樹內最遠白點的距離就是這條重鏈的線段樹的根的 \(lmx\)

記這個根為 \(p\)

若 \(u\) 為白點：\(d_u=\max\{w(u,v)+lmx_p,0\}\)

若 \(u\) 為黑點：\(d_u=\max\{w(u,v)+lmx_p\}\)

具體可以每個節點開一個 multiset，把輕兒子的 \(lmx+w\)丟進去，如果是白點再丟個 \(0\) ，那麼 \(d\) 就是堆頂

對於修改，只需不斷向上跳重鏈，同時刪除原來貢獻，加入新的貢獻

由於一次修改最多更新 \(logn\) 次，所以時間複雜度為 \(O(nlog^2 n)\)

這樣寫屬實有點搞心態，而且三個 \(log\) 有點醜

還有個比較簡便的做法

可以新增虛點將樹變為二叉樹，如圖

紅點為虛點，紅邊邊權為 \(0\)

這樣每個點只有一個重兒子，一個輕兒子，那麼 \(d\) 就唯一確定，\(d'\) 必為 \(-\infty\) ，不需要開 multiset 了

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QTREE5 - Query on a tree V

樹剖解法

網上沒找到寫樹剖的題解，蒟蒻試著寫了一下樹剖，其表現良好，寫篇題解為像我一樣不會 LCT 的同學提供一種思路

雖然樹剖比 LCT 多一個 log，但憑藉優秀的常數跑得還是比大部分 lct 更快 （目前排 luogu 最優解第四）

與 Qtree4 類似，每條重鏈開一棵線段樹

對於線段樹上的一個節點 \(p\)，其對應區間為 \([L,R]\)（重鏈上的一條路徑）

記 \(lmn_p\) 表示從 \(L\) 出發，在 \([L,R]\) 間的某個節點拐出重鏈能到達的最近白點（這點與 Qtree4 不同），\(rmn_p\) 同理。（由於詢問是關於某個點的資訊，不再是全域性資訊了，所以不需要維護 \(mx\)）

轉移與 Qtree4 類似

\(lmn_p = \min\{lmn_{ls},dis(L,mid+1)+lmn_{rs}\}\)

\(rmn_p = \min\{rmn_{rs},dis(mid, R)+rmn_{ls}\}\)

記 \(d_i\) 表示以 \(i\) 為根的輕子樹內，根到白點的最遠距離，不存在為 \(+\infty\) （這點不同）

這裡同樣改建二叉樹以維護 \(d_i\) ，\(v\) 是 \(u\) 的輕兒子

若 \(u\) 為白點：\(d_u=\min\{w(u,v)+lmn_p,0\} = 0\)

若 \(u\) 為黑點：\(d_u=w(u,v)+lmn_p\)

線段樹邊界節點 \(p\)，對應區間 \([L, L]\)：

當 \(L\) 為白點時：

\(lmn_p=rmn_p=\min\{0,d_L\} = 0\)

當 \(L\) 為黑點時：

\(lmx_p=rmx_p=d_L\)

以上部分與 Qtree4 的解題思路相仿，略微改動就行，更新顏色也和 Qtree4 一樣，不斷跳鏈即可

重點是如何根據我們維護的 \(lmn\) 和 \(rmn\) 得到距 \(u\) 最近白點 \(v\) 的 \(dis(u, v)\)

由於我們維護的是以左端或右端為起點的最小距白點距離，所以只有當 \(u\) 為區間的邊界時，我們才能直接用上對應的 \(lmn\) 和 \(rmn\)

所以設當前詢問點 \(u\) 所在重鏈的 \(\text{dfn}\) 區間為 \([L,R]\)

那麼 \(u\) 在這條重鏈上的答案（指白點在以鏈頂為根的子樹內）可由以下兩種情況貢獻：

1. \(u\) 作為左端點，貢獻 \(lmn\)，即 \(lmn_{[dfn_u,R]}\)，相當於統計鏈底到 \(u\) 的答案

2. \(u\) 作為右端點，貢獻 \(rmn\)，即 \(rmn_{[L,dfn_u]}\)，相當於統計 \(u\) 到鏈頂的答案

這條重鏈的答案為上述兩種情況取 \(\min\)

而對於白點在子樹外的情況，只需不斷跳重鏈，跳到根為止，統計新的重鏈的答案，跳的時候加上鍊頂到 \(u\) 的距離，最後再對條重鏈上的答案取個最小值便是此次詢問的答案

由於跳 \(O(logn)\) 條重鏈，每條重鏈統計答案需要 \(O(logn)\) 的時間，所以總時間複雜度 \(O(nlog^2n)\)

注意的是這道題所有節點初始為黑色

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QTREE6 - Query on a tree VI

這題樹剖有兩種解法，一種是延續 IV、V 的思路，維護端點最值，另一種是每個點單獨考慮，這邊先寫的第二種，第一種後面補

設 \(b_u, w_u\) 分別表示在以 \(u\) 為根的子樹內，如果 \(u\) 為 黑/白 點，\(u\) 的同色最大聯通塊的大小

初始由於全是黑點，所以 \(b_u = siz_u, w_u = 1\)

詢問時，只需向上跳到最遠的與 \(u\) 同色的點，它的 \(b\) /\(w\) 即為答案

對於修改，先考慮把 \(u\) 由黑變白

1. 由於 \(u\) 不再是黑點了，所以有它是黑點所帶來的貢獻要全部刪去。

   而 \(u\) 所貢獻的只能是它的祖先，並且與它在同一個黑色連通塊內，或者是在 \(u \rightarrow root\) 路徑上第一個白點（貢獻這個白點為黑點時的答案），所以找到第一個白點 \(v\)，\(fa_u \rightarrow v\) 路徑上所有點的 \(b\) 減去 \(b_u\) （相當於 \(u\) 阻斷了祖先的黑色連通塊與子樹內的黑色連通塊）

2. 由於 \(u\) 變為了白點，所以它會帶來一些貢獻

   而 \(u\) 所貢獻的也是它的祖先，並與它在同一個白色聯通塊內，或者是在 \(u \rightarrow root\) 路徑上第一個黑點，所以找到第一個黑點 \(v\)，\(fa_u \rightarrow v\) 路徑上所有點的 \(b\) 加上去 \(w_u\) （相當於 \(u\) 聯通了祖先的白色連通塊和子樹內的白色聯通塊）

這兩步都可以用線段樹區間加實現

還有個問題就是怎麼求 \(u \rightarrow root\) 路徑上的第一個 ，這個與 Qtree3 類似

而至於求 \(u \rightarrow root\) 上最遠的同色連通塊內的點，Qtree3 的操作改一下就行了，即每次查父親到父親鏈頂的第一個異色點，沒查到就跳到父親鏈頂的位置，否則特判：如果這個異色點是父親，就返回當前點；否則返回這個點的重兒子。具體看程式碼

細節比較多，但只要熟悉樹剖都能發現

碼量和常數似乎都變大了

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QTREE7 - Query on a tree VII

還是利用 QTree4 的思想

線段樹合併：當前節點 \(p\) ,表示區間為 \([L,R]\)

設 \(lmx_{p}\) 表示 \(L\) 所在同色連通塊內的最大權值

設 \(rmn_{p}\) 表示 \(R\) 所在同色連通塊內的最大權值

光這樣顯然是合併不了的，考慮合併需要什麼

對於當前節點 \(p[L,R]\) ，左右兒子分別為 \(ls[L,mid]\)，\(rs[mid + 1, R]\)

顯然 \(lmx_{ls}\) 可以貢獻給 \(lmx_p\) ，但 \(lmx_{rs}\) 呢？

如果左兒子全是一個顏色，並且與右兒子最左邊的顏色相同，那麼是不是 \(lmx_{rs}\) 也可以貢獻給 \(lmx_p\)？

所以設 \(lsiz_p\) 表示左端點所在同色連通塊包含區間內的點數（即 \(L\) 在重鏈上的同色連通塊的大小），\(rsiz_p\) 同理

那麼轉移就出來了：

\(lmx_p = \max(lmx_{ls} , lmx_{rs}[lsiz_{ls} = mid - l + 1][col_{mid} = col_{mid +1}])\)

\(rmx_p = \max(rmx_{rs} , rmx_{ls}[rsiz_{rs} = r - mid][col_{mid} = col_{mid+}])\)

\(lsiz_p = lsiz_{ls} + lsiz_{rs}[lsiz_{ls} = mid - l + 1][col_{mid} = col_{mid +1}]\)

\(rsiz_p = rsiz_{rs} + rsiz_{ls}[rsiz_{rs} = r - mid][col_{mid} = col_{mid +1}]\)

邊界情況：設 \(v\) 為 \(u\) 的輕兒子

\(lmx_u = rmx_u = \max\limits_v \{lmx_{rt_v}[col_u = col_v], w_u\}\)

\(lsiz_u = rsiz_u = 1\)

詢問：

只需跳到最淺的，同一同色連通塊內的祖先，再查，該祖先到其所在鏈鏈底這個區間， \(lmx\) 即為答案，但要注意特判跳到根的情況，以及跳時顏色是否相同，細節看程式碼

修改：

先刪除原來的貢獻，加入新的貢獻，這個只需每個點每個顏色用一個 multiset 維護，記錄該顏色連通塊內的最大權值即可

然後一邊跳重鏈一邊改，同時記錄上一個節點（從哪裡跳來），和之前的貢獻，以便刪除貢獻和新增貢獻，細節在於改顏色時上一個點是否就是修改的點，如果是，在刪貢獻是要在反色 multiset 裡面刪（它原來的貢獻是存在那裡面的）

也是調了好久，拍了一下午

好在樹剖依舊穩定輸出，拿下最優解第四

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