1、二叉樹基礎

1.1、樹的幾個概念

　　　　節點的高度：節點到葉子節點的最大路徑（邊數）

　　　　節點的深度：根節點到這個節點所經歷的邊數

　　　　節點的層數：節點的深度+1

　　　　樹的高度：根節點的高度

　　高度和深度的計數都是從0開始，來看個例子：

1.2、滿二叉樹和完全二叉樹

（1）滿二叉樹

　　　　葉子節點全都在最後一層，除葉子節點外，每個節點都有左右兩個節點，這種二叉樹就是滿二叉樹。

　　　 其中2號就是滿二叉樹。

（2）完全二叉樹

　　　　葉子節點都在最底下兩層，最後一層的葉子節點都靠左排列，並且除了葉子節點，每個節點都有左右兩個節點，這種二叉樹就是完全二叉樹。上圖中3號就是一棵完全二叉樹。

　　　　再來看幾個完全二叉樹和非完全二叉樹的例子：

　　　　和滿二叉樹一樣，除了葉子節點其他節點都達到最大，這一點很好理解，那為什麼完全二叉樹的要求最後一層都靠左排列呢？

　　　　要明白這一點就要看二叉樹的儲存方式？主要有兩種：鏈式儲存和基於陣列的順序儲存。

　　鏈式儲存：這是最長用的二叉樹表示方式，每個節點三個欄位，一個儲存資料，另外兩個是指向左右節點的指標。

　　基於陣列的順序儲存：把根節點儲存在下標 i = 1 的位置，那左子節點儲存在下標 2 * i = 2 的位置，右子節點儲存在 2 * i + 1 = 3 的位置。以此類推，B 節點的左子節點儲存在 2 * i = 2 * 2 = 4 的位置，右子節點儲存在 2 * i + 1 = 2 * 2 + 1 = 5 的位置。

　　　　完全二叉樹葉子節點都靠左排列就是為了節省儲存空間。

1.3、二叉樹的遍歷

　　經典的三種方式：前序遍歷、中序遍歷、後序遍歷。

　　　　前序遍歷是指，對於樹中的任意節點來說，先列印這個節點，然後再列印它的左子樹，最後列印它的右子樹。

　　　　中序遍歷是指，對於樹中的任意節點來說，先列印它的左子樹，然後再列印它本身，最後列印它的右子樹。

　　　　後序遍歷是指，對於樹中的任意節點來說，先列印它的左子樹，然後再列印它的右子樹，最後列印這個節點本身　

　　實際上，前中後序遍歷就是遞迴過程，我們直接看程式碼：

void preOrder(Node* root) {
  if (root == null
 
) return;
  print root // 此處為虛擬碼，表示列印root節點
  preOrder(root->left);
  preOrder(root->right);
}

void inOrder(Node* root) {
  if (root == null) return;
  inOrder(root->left);
  print root // 此處為虛擬碼，表示列印root節點
  inOrder(root->right);
}

void postOrder(Node* root) {
  if (root == null) return;
  postOrder(root->left);
  postOrder(root->right);
  print root // 此處為虛擬碼，表示列印root節點
}

　　三種遍歷，每個節點最多會被訪問兩次，與節點個數正相關，所以時間複雜度是 O(n)。

2、二叉查詢樹

　　二叉查詢樹是二叉樹中最常用的一種型別，也就二叉搜尋樹。它支援快速查詢、插入和刪除資料。

　　二叉查詢樹要求，在樹中的任意一個節點，其左子樹中的每個節點的值，都要小於這個節點的值，而右子樹節點的值都大於這個節點的值。

2.1、二叉查詢樹的操作

（1）二叉查詢樹的查詢操作

　　先取根節點，如果它等於我們要查詢的資料，那就返回。如果要查詢的資料比根節點的值小，那就在左子樹中遞迴查詢；如果要查詢的資料比根節點的值大，那就在右子樹中遞迴查詢。

public class BinarySearchTree {
　　private Node tree;

   public static class Node {
    private int data;
    private Node left;
    private Node right;

    public Node(int data) {
      this.data = data;
    }
  } 

  public Node find(int data) {
    Node p = tree;
    while (p != null) {
      if (data < p.data) p = p.left;
      else if (data > p.data) p = p.right;
      else return p;
    }
    return null;
  }
}

（2）二叉查詢樹的插入操作

　　二叉查詢樹的插入過程有點類似查詢操作。新插入的資料一般都是在葉子節點上，所以我們只需要從根節點開始，依次比較要插入的資料和節點的大小關係。如果要插入的資料比節點的資料大，並且節點的右子樹為空，就將新資料直接插到右子節點的位置；如果不為空，就再遞迴遍歷右子樹，查詢插入位置。同理，如果要插入的資料比節點數值小，並且節點的左子樹為空，就將新資料插入到左子節點的位置；如果不為空，就再遞迴遍歷左子樹，查詢插入位置。

public void insert(int data) {
  if (tree == null) {
    tree = new Node(data);
    return;
  }

  Node p = tree;
  while (p != null) {
    if (data > p.data) {
      if (p.right == null) {
        p.right = new Node(data);
        return;
      }
      p = p.right;
    } else { // data < p.data
      if (p.left == null) {
        p.left = new Node(data);
        return;
      }
      p = p.left;
    }
  }
}

（3）二叉查詢樹的刪除操作

　　刪除操作比較複雜，因為可能涉及到重構，根據要刪除節點的子節點個數不同，分三種情況考慮：

　　•如果要刪除的節點沒有子節點，只需要直接將父節點中，指向要刪除節點的指標置為 null。比如圖中的刪除節點 55。

　　•如果要刪除的節點只有一個子節點（只有左子節點或者右子節點），只需要更新父節點中指向要刪除節點的指標，讓它指向要刪除節點的子節點就可以了。比如圖中的刪除節點 13。

　　•如果要刪除的節點有兩個子節點，這就比較複雜了。需要找到這個節點的右子樹中的最小節點，把它替換到要刪除的節點上。然後再刪除掉這個最小節點，因為最小節點肯定沒有左子節點（如果有左子結點，那就不是最小節點了），所以，可以應用上面兩條規則來刪除這個最小節點。比如圖中的刪除節點 18。

public void delete(int data) {
  Node p = tree; // p指向要刪除的節點，初始化指向根節點
  Node pp = null; // pp記錄的是p的父節點
  while (p != null && p.data != data) {
    pp = p;
    if (data > p.data) p = p.right;
    else p = p.left;
  }
  if (p == null) return; // 沒有找到

  // 要刪除的節點有兩個子節點
  if (p.left != null && p.right != null) { // 查詢右子樹中最小節點
    Node minP = p.right;
    Node minPP = p; // minPP表示minP的父節點
    while (minP.left != null) {
      minPP = minP;
      minP = minP.left;
    }
    p.data = minP.data; // 將minP的資料替換到p中
    p = minP; // 下面就變成了刪除minP了
    pp = minPP;
  }

  // 刪除節點是葉子節點或者僅有一個子節點
  Node child; // p的子節點
  if (p.left != null) child = p.left;
  else if (p.right != null) child = p.right;
  else child = null;

  if (pp == null) tree = child; // 刪除的是根節點
  else if (pp.left == p) pp.left = child;
  else pp.right = child;
}

（4）二叉查詢樹的其他操作

　　除了插入、刪除、查詢操作之外，二叉查詢樹中還可以支援快速地查詢最大節點和最小節點、前驅節點和後繼節點。

　　另外還有一個重要特性，二叉查詢樹的中序遍歷可以輸出有序的資料序列，時間複雜度 O(n)，非常高效。

（5）時間複雜度分析

　　二叉查詢樹的查詢、插入和刪除的時間複雜度跟跟樹的高度成正比，所以時間複雜度就是 O(height)。在極端情況下，二叉查詢樹會退化成連結串列，時間複雜度就是 O(n)，如果二叉樹是平衡二叉樹（3節講），平衡二叉樹的樹高接近 O(logn)，

所以對於平衡二叉樹來說時間複雜度就是 O(logn)。

2.2、支援重複資料的二叉查詢樹

　　很多時候，在實際的開發中，在二叉查詢樹中儲存的，是一個包含很多欄位的物件。利用物件的某個欄位作為鍵值（key）來構建二叉查詢樹。把物件中的其他欄位叫作衛星資料。

　　上面小節中所提到的操作都是針對不存在重複鍵值的情況，那如果存在重複鍵值怎麼解決呢？幾種思路：

（1）二叉樹的每個節點不僅儲存一個數據，可以通過連結串列和支援動態擴容的陣列等資料結構，把相同鍵值的資料儲存在一個節點上。

（2）每個節點還是隻儲存一個數據，如果遇到相同的鍵值，將要插入的資料放到右子樹，也就是把相同的鍵值按大於這個節點的值來處理。

　　　　當要查詢資料的時候，遇到值相同的節點，並不停止查詢操作，而是繼續在右子樹中查詢，直到遇到葉子節點，才停止。這樣就可以把鍵值等於要查詢值的所有節點都找出來。

（3）對於要刪除的資料，並不真正刪除，只是將節點標記為刪除狀態，這樣就避免刪除帶來的複雜性，但是比較浪費儲存空間，並且當資料量越大，效能會越低。