網路流——從入門到入土
1. 網路流的基本概念
注： \(G\) 為流網路， \(f\) 為可行流， \(|f|\) 為可行流的大小。
1. 流網路
一個有向圖 \(G=(V,E)\) ，每一條邊都有流量限制 \(C(u,v)\) ，源點為 \(s\) ，匯點為 \(t\) 。
2. 可行流
設一個可行流為 \(f\) ，它需要滿足兩個限制：
1.容量限制：
\(\forall (u,v)\in E,0\leqslant f(u,v)\leqslant C(u,v)\)
對於每一條邊，它的流量一定是大於 \(0\) 小於流量限制的。
2.流量守恆：
\(\forall x\in V|\{s,t\},\sum\limits_{(u,x)\in E}f(u,x)=\sum\limits_{(x,v)\in E}f(x,v)\)
對於每一個點（除了源點和匯點）,它收到的流量等於輸出的流量。
3. 可行流的大小
\(|f|=\sum\limits_{(s,v)\in E}f(s,v)-\sum\limits_{(v,s)\in E}f(v,s)\)
可行流的大小即為源點輸出的流量減去收到的流量（一般沒有連向源點的邊）。
4. 最大流
最大流，全稱為最大可行流。
即為流網路中大小最大的可行流。
5. 殘留網路
對於每一個可行流 \(f\) ，都有一個殘留網路 \(G\) ，且可行流與殘留網路是一一對應的。
一般記為 \(G_f\)。
1.性質
\(V_f=V\)
殘留網路包含原圖中的所有點。
\(E_f=E+E'\)
殘留網路包含原圖中的所有邊以及反向邊。
設 \(C'(u,v)\) 為殘留網路中每條邊的容量。
\(C'(u,v)=\begin{cases}C(u,v)-f(u,v)&(u,v)\in E\\f(v,u)&(v,u)\in E\end{cases}\)
若當前邊為正向邊，容量即為原容量減去現在的流量，否則即為現在的流量。
設 \(G_f\) 的可行流為 \(f'\) 。
\(f+f'\) 也是 \(G\) 的一個可行流。
2. 流網路的相加
\(\forall (u,v) \in E,f(u,v)\gets\begin{cases}f(u,v)+f'(u,v)&(u,v)\in E'\\f(u,v)-f'(v,u)&(v,u)\in E\end{cases}\)
對於每一條邊，若另一個流網路中存在與它相同方向的邊，則將兩流量相加，否則相減。
若 \(f+f'\) 是 \(G\) 的一個可行流，那麼它需要滿足可行流的兩個條件。
1.容量限制
若對於 \((u,v)\in E\) ，有 \((u,v)\in E'\) 。
\(\Rightarrow 0\leqslant f'(u,v)\leqslant C'(u,v)=C(u,v)-f(u,v)\)
\(\Rightarrow 0\leqslant f'(u,v)\leqslant C(u,v)-f(u,v)\)
\(\Rightarrow 0\leqslant\color{red}{f'(u,v)+f(u,v)\leqslant C(u,v)}\)
若對於 \((u,v)\in E\) ，有 \((v,u)\in E'\) 。
\(\Rightarrow 0 \leqslant f'(u,v)\leqslant C'(u,v)=f(v,u)\leqslant C(v,u)\)
\(\Rightarrow 0 \leqslant\color{red}{f(v,u)-f'(u,v) \leqslant C(u,v)}\)
至此，可證明 \(f+f'\) 滿足容量限制。
2.流量守恆
對於 \(f\) 中的所有點，都滿足流量守恆。
\(f'\) 同樣滿足，而相加不改變守恆。
易得 \(f+f'\) 滿足流量守恆。
可得 \(|f+f'|=|f|+|f'|\)
所以殘留網路中的可行流是可以加到流網路的可行流中的。
可以推出如果殘留網路沒有可行流，流網路一定是最大流。
6. 增廣路
在殘留網路裡面，從源點出發，沿著容量大於 \(0\) 的邊走，如果可以走到匯點，那麼這條邊是增廣路。
增廣路是無環無交點的簡單路徑。
對於一個可行流 \(f\) ，若殘留網路 \(G_f\) 中沒有增廣路，那麼 \(f\) 是最大流。
7. 流網路的割
一般的，設流網路的兩個點集為 \(X\) 和 \(Y\)。
可得 \(f(X,Y)=\sum\limits_{u\in X}\sum\limits_{v\in Y}f(u,v)-\sum\limits_{u\in Y}\sum\limits_{v\in X}f(u,v)\)
性質一： \(f(X,Y)=-f(Y,X)\)
性質二： \(f(X,X)=0\)
性質三： \(f(Z,X\bigcup Y)=f(Z,X)+f(Z,Y)\{X\bigcup Y=\varnothing\}\)
對於流網路 \(G=(V,E)\) ，將 \(V\) 分為 \(S\) 和 \(T\) 。
滿足 \(S\bigcup T=V\) ， \(S\bigcap T=\varnothing\) ， \(s\in S\) ， \(t\in T\) 。
1. 割的容量
\(C(S,T)=\sum\limits_{u\in S}\sum\limits_{v\in T}C(u,v)\)
割的容量為從 \(S\) 到 \(T\) 的邊的容量之和。
最小割指的是容量最小的割。
2. 割的流量
\(f(S,T)=\sum\limits_{u\in S}\sum\limits_{v\in T}f(u,v)-\sum\limits_{u\in T}\sum\limits_{v\in S}f(u,v)\)
割的流量為從 \(S\) 到 \(T\) 的邊的流量之和減去從 \(T\) 到 \(S\) 的邊的流量之和。
3. 割的性質
\(\forall \left[S,T\right],\forall f,f(S,T)\leqslant C(S,T)\)
對於每一個割和每一個可行流，割的流量小於等於割的容量。
\(f(S,T)=\sum\limits_{u\in S}\sum\limits_{v\in T}f(u,v)-\sum\limits_{u\in T}\sum\limits_{v\in S}f(u,v)\)
\(\Rightarrow f(S,T)\leqslant\sum\limits_{u\in S}\sum\limits_{v\in T}f(u,v)\)
\(\because \sum\limits_{u\in S}\sum\limits_{v\in T}f(u,v)\leqslant \sum\limits_{u\in S}\sum\limits_{v\in T}C(u,v)=C(S,T)\)
\(\Rightarrow \color{red}{f(S,T)\leqslant C(S,T)}\)
\(\forall [S,T],\forall f,f(S,T)=|f|\)
對於每一個割和每一個可行流，割的容量等於可行流的大小。
\(f(S,V)=f(S,S)+f(S,T)\) （性質一）
\(\Rightarrow f(S,T)=f(S,V)-f(S,S)\)
\(\Rightarrow f(S,T)=f(S,V)\)
\(\Rightarrow f(S,T)=f(\{s\},V)+f(S-\{s\},V)\)
設 \(S'=S-\{s\}\)
\(\because f(S',V)=\sum\limits_{u\in S'}\sum\limits_{v\in V}f(u,v)-\sum\limits_{u\in S'}\sum\limits_{v\in V}f(v,u)\)
\(\Rightarrow f(S',V)=\sum\limits_{u\in S'}\big(\sum\limits_{v\in V}f(u,v)-\sum\limits_{v\in V}f(v,u)\big)=0\)
\(\therefore f(S,T)=f(s,V)=|f|\)
\(\Rightarrow \color{red}{f(S,T)=|f|}\)
綜上可以推出：\(|f|\leqslant C(S,T)\)
即為最大流\(\leqslant\)最小割
8. 最大流最小割定理
對於流網路 \(G=(V,E)\) ，同時滿足下面三個條件。
1. \(f\) 是最大流
2. \(G_f\) 中不存在增廣路
3. \(\exists \left[S,T\right],|f|=C(S,T)\)
\(1\Rightarrow2\)
設 \(f\) 為當前可行流，若存在增廣路 \(f'\) ，那麼 \(|f+f'|\geqslant|f|\) 。
\(2\Rightarrow3\)
在 \(G_f\) 中從 \(s\) 出發沿著容量大於 \(0\) 的邊走到的所有的點均在 \(S\) 中。
\(T=V-S\)
\(\forall (x,y)\{x\in S,y\in T\},f(x,y)=C(x,y)\)
\(\forall (a,b)\{a\in T,b\in S\},f(a,b)=0\)
\(\because |f|=f(S,T)\)
\(\Rightarrow |f|=\sum\limits_{u\in S}\sum\limits_{v\in T}f(u,v)-\sum\limits_{u\in S}\sum\limits_{v\in T}f(v,u)\)
\(\Rightarrow |f|=\sum\limits_{u\in S}\sum\limits_{v\in T}C(u,v)=C(S,T)\)
\(3\Rightarrow1\)
\(|f|=C(S,T)\geqslant|f_{max}|\)
又 \(\because |f|=|f_{max}|\)
\(\therefore |f|=C(S,T)\)
最大流等於最小割
2. 網路流的模板
1. FF
因為最大流中沒有增廣路，所以可以通過不斷的找增廣路來找到原圖的最大流。
這就是 FF 思想，也是一堆最大流演算法的根源。
2. EK
通過暴力找增廣路，然後加入殘留網路，這是 EK 的思想。
大概分為以下幾步：
- 通過 BFS 找到一條增廣路 \(f'\)
- 更新殘留網路，若對於一條邊 \((u,v)\) 流過了 \(k\) 的流量，那麼 \(\begin{cases}C(u,v)=C(u,v)-k\\C(v,u)=C(v,u)+k\end{cases}\)
- 需要減的流量為找到增廣路上最小的容量
肯定用鄰接表存圖，所以有一個小 trick ： \(i\) 的反向邊為 \(i \oplus 1\)
時間複雜度不優，為 \(O(nm^2)\)
但是跑不滿，\(10^3\) 到 \(10^4\) 可跑。
最大流一般不用，但是費用流要用。
程式碼實現：
#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
const int MAXN=2e5+5;
struct node
{
int to,nxt,flow;
}e[MAXN];
int head[MAXN],cnt=1;//因為要異或得反向邊，cnt需從1開始
int n,m,s,t;
inline void add(int x,int y,int f)
{
e[++cnt].to=y;
e[cnt].flow=f;
e[cnt].nxt=head[x];
head[x]=cnt;
}
bitset<MAXN>vis;
int pre[MAXN],dis[MAXN];//pre記錄當前點是從哪條邊過來的，dis是當前點之前最小的容量
inline bool bfs()//bfs找一條增廣路
{
vis=0;
vis[s]=1;
dis[s]=0x7f7f7f7f;
queue<int>q;
q.push(s);
while(!q.empty())
{
int x=q.front();
q.pop();
for(register int i=head[x];i;i=e[i].nxt)
{
int y=e[i].to,f=e[i].flow;
if(!vis[y]&&f)//若沒有經過且容量大於0，則可以成為增廣路的一部分
{
pre[y]=i;//直接記錄邊的編號
dis[y]=min(dis[x],f);
vis[y]=1;
if(y==t)return true;//現在到了匯點，直接找到了
q.push(y);
}
}
}
return false;
}
inline void EK()
{
int ans=0;
while(bfs())
{
ans+=dis[t];
for(register int i=t;i!=s;i=e[pre[i]^1].to)//不斷遍歷直到訪問到源點
{
e[pre[i]].flow-=dis[t];//流過的邊容量要減
e[pre[i]^1].flow+=dis[t];//小trick應用處
}
}
printf("%d",ans);
}
int main()
{
scanf("%d%d%d%d",&n,&m,&s,&t);
for(register int i=1;i<=m;i++)
{
int x,y,z;
scanf("%d%d%d",&x,&y,&z);
add(x,y,z);
add(y,x,0);//反向邊最初容量為0
}
EK();
return 0;
}
3. dinic
時間複雜度較優，為 \(O(n^2m)\)
同樣跑不滿，\(10^4\) 到 \(10^5\) 可跑。