隨機過程筆記2：譜分析
阿新 • • 發佈：2022-02-17
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譜分析Spectral Analysis of Stochastic Process
譜，從某種角度出發，進行分解，以把握特徵。
1.引入：確定性訊號的分解
對於確定性週期訊號：\(X(t),deterministic,Periodic:X(t+T)=X(t)\)
，有：\(x(t)=\sum_k\alpha_ke^{j\omega_kt},\omega_k=\frac{2k\pi}{T},\frac{2\pi}{T}\)為基頻Base Frequency，其中\(\alpha_k=\frac{1}{T}\int_{-\frac{T}{2}}^{\frac{T}{2}}x(t)e^{-j\omega_kt}dt\)
- 展開僅僅成立在\(t\in[-\frac{T}{2},\frac{T}{2}]\)
- 對於非周期函式也可在區間做傅立葉級數展開，區間之外傅立葉級數是其週期延拓
- 基函式\(\frac{1}{\sqrt{T}}e^{j\omega_kt},k\in(-\infty,+\infty)\)是規範正交基。此時與對應函式做內積就可以直接得到係數，相當於在對應方向上的投影。
當\(T\rightarrow\infty\)，則有傅立葉變換：
\[\begin{aligned} x(t)&=\frac{1}{T}\sum_{k=-\infty}^{+\infty}[\int_{-\frac{T}{2}}^{\frac{T}{2}}x(s)e^{-j\omega_ks}ds]e^{j\omega_kt}\\ &=\frac{1}{T}\sum_{k=-\infty}^{+\infty}[\int_{-\frac{T}{2}}^{\frac{T}{2}}x(s)e^{-j\frac{2k\pi}{T}s}ds]e^{j\frac{2k\pi}{T}t}\\ &=\frac{1}{2\pi}\sum_{k=-\infty}^{+\infty}[\int_{-\frac{T}{2}}^{\frac{T}{2}}x(s)e^{-j\frac{2k\pi}{T}s}ds]e^{j\frac{2k\pi}{T}t}\cdot\frac{2\pi}{T}\\ \lim_{T\rightarrow\infty}x(t)&=\frac{1}{2\pi}\int_{-\infty}^{+\infty}X(\omega)e^{j\omega t}d\omega\\ \end{aligned} \]傅立葉變換對：
2.隨機訊號的分解——功率譜密度
\[x(t)=\frac{1}{2\pi}\sum_{k=-\infty}^{+\infty}[\int_{-\frac{T}{2}}^{\frac{T}{2}}x(s)e^{-j\frac{2k\pi}{T}s}ds]e^{j\frac{2k\pi}{T}t}\cdot\frac{2\pi}{T} \]相比確定訊號，隨機訊號可能存在一個問題，積分是否收斂？
對於傅立葉變換積分收斂，存在一個條件：\(x(t)\in L^1(\mathbb{R})\Leftrightarrow\int_{-\infty}^{+\infty}|x(t)|dt<\infty\)。該條件對於確定性訊號，是普遍滿足的。對於不滿足的情況，通常也會做一些處理。
例如cos(t)，引入廣義函式\(\frac{1}{2}[\delta(\omega-1)+\delta(\omega+1)]\)
面對這樣的問題，可以提供兩種解決辦法。物理的角度：可以想到的是，希望做傅立葉的是有衰減趨勢的函式，可以考慮二階的函式。大部分相關函式是衰減的（也有周期振盪的）。下面以復隨機訊號(寬平穩)為例：
\[\begin{aligned} &\frac{1}{T}E|\int_{-\frac{T}{2}}^{\frac{T}{2}}x(t)e^{-j\omega t}dt|^2\\ (&有損的變換,相位資訊消失)\\ =&\frac{1}{T}E(\int_{-\frac{T}{2}}^{\frac{T}{2}}x(t)e^{-j\omega t}dt)(\overline{\int_{-\frac{T}{2}}^{\frac{T}{2}}x(s)e^{-j\omega s}ds})\\ =&\frac{1}{T}\int_{-\frac{T}{2}}^{\frac{T}{2}}\int_{-\frac{T}{2}}^{\frac{T}{2}}E[x(t)\overline{x(s)}]e^{-j\omega (t-s)}dtds\\ (&對於寬平穩有E[x(t)\overline{x(s)}]=R_x(t,s)=R_x(t-s))\\ =&\frac{1}{T}\int_{-\frac{T}{2}}^{\frac{T}{2}}\int_{-\frac{T}{2}}^{\frac{T}{2}}R_x(t-s)e^{-j\omega (t-s)}dtds\\ (&換元u=t-s,v=t+s,雅可比行列式dtds=|det\frac{\partial(t,s)}{\partial(u,v)}|dudv=\frac{1}{2}dudv)\\ =&\frac{1}{2T}[\int_{-T}^0\int_{-u-T}^{u+T}R_x(u)e^{-j\omega u}dvdu+\int_0^T\int_{u-T}^{-u+T}R_x(u)e^{-j\omega u}dvdu]\\ =&\frac{1}{2T}\int_{-T}^T\int_{|u|-T}^{-|u|+T}R_x(u)e^{-j\omega u}dvdu\\ =&\frac{1}{2T}\int_{-T}^T(2T-2|u|)R_x(u)e^{-j\omega u}du\\ =&\int_{-T}^T(1-\frac{|u|}{T})R_x(u)e^{-j\omega u}du\\ 則&\lim_{T\rightarrow\infty}\frac{1}{T}E|\int_{-\frac{T}{2}}^{\frac{T}{2}}x(t)e^{-j\omega t}dt|^2=\int_{-\infty}^{+\infty}R_x(u)e^{-j\omega u}du=S_x(\omega) \end{aligned} \]上述結果即為功率譜密度Power Spectral Density，簡稱PSD。得到隨機訊號的傅立葉變換對（由相關函式的傅立葉變換得到功率譜密度）：
\[\left\{ \begin{aligned} S_x(\omega)=&\int_{-\infty}^{+\infty}R_x(u)e^{-j\omega u}du\\ R_x(u)=&\frac{1}{2\pi}\int_{-\infty}^{+\infty}S_x(\omega)e^{j\omega u}d\omega \end{aligned} \right. \]分析：
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功率：量綱是\(I^2T\)焦耳\(J\)，即能量。換個角度，可得到\(R_x(0)=\frac{1}{2\pi}\int_{-\infty}^{\infty}S_x(\omega)d\omega=E|x(t)|^2\)，為功率，則\(S_x(\omega)\)單位為功率除以頻率，也就是功率乘以時間，故量綱是\(J\)，即能量。
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譜：功率譜密度反映的是隨機過程在每個頻點上功率的大小，是一個二階量。
- \(S_{\alpha x}(\omega)=|\alpha|^2S_x(\omega)\)
- \(R_x(0)-R_x(\tau)\geq\frac{1}{4}[R_x(0)-R_x(2\tau)]\)
證明思路1：
\[\begin{aligned} &上式等價於：3R_x(0)-4R_x(\tau)+R_x(2\tau)\geq0\\ &\begin{pmatrix} x\\y\\x \end{pmatrix} \begin{pmatrix} R_x(0)&R_x(\tau)&R_x(2\tau)\\ R_x(\tau)&R_x(0)&R_x(\tau)\\ R_x(2\tau)&R_x(\tau)&R_x(0)\\ \end{pmatrix} \begin{pmatrix} x&y&x \end{pmatrix}\\ =&f_1(x,y,z)R_x(0)+f_2(x,y,z)R_x(\tau)+f_3(x,y,z)R_x(2\tau)\\ \geq&0(根據正定)\\ &解f_1=3,f_2=-4,f_3=1(待定係數法) \end{aligned} \]證明思路2：頻域上分析
\[\begin{aligned} &已知:R_x(0)=\frac{1}{2\pi}\int_{-\infty}^{+\infty}S_x(\omega)d\omega,R_x(\tau)=\frac{1}{2\pi}\int_{-\infty}^{+\infty}S_x(\omega)e^{j\omega\tau}d\omega\\ &則R_x(0)-4R_x(\tau)+R_x(2\tau)\\ =&\frac{1}{2\pi}\int_{-\infty}^{+\infty}S_x(\omega)[3-4e^{j\omega\tau}+e^{j\omega2\tau}]d\omega\\ &(在下面有結論:S_x(\omega)=\int_{-\infty}^{+\infty}R_x(\tau)e^{-j\omega\tau}d\tau=\int_{-\infty}^{+\infty}R_x(\tau)cos(\omega\tau)d\tau)\\ =&\frac{1}{2\pi}\int_{-\infty}^{+\infty}S_x(\omega)[3-4cos(\omega\tau)+cos(2\omega\tau)]d\omega\\ =&\frac{1}{2\pi}\int_{-\infty}^{+\infty}2S_x(\omega)[cos(\omega\tau)-1]^2d\omega\geq0 \end{aligned} \]- \(R_x(0)-R_x(\tau)\geq\frac{1}{4^n}[R_x(0)-R_x(2^n\tau)]\)
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\(S_{x+y}\neq S_x(\omega)+S_y(\omega)\)
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密度：體現在是常數。
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關於\(S_x(\omega)\geq0\)，從另外一個角度分析。相關函式\(R_x(t)\)是正定的，根據Bochner的結果，其傅立葉變換也是正的。
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如果是實變數，功率譜是偶函式：\(S_x(\omega)=S_x(-\omega)\)。實訊號沒有負頻率的說法，其頻率負軸是頻率正軸的映象。驗證：
- 隨機過程通過線性系統：有\(Y(t)=(h*x)(t)=\int_{-\infty}^{\infty}h(t-\tau)x(\tau)d\tau\)，其中\(h(t)\)是系統的衝激響應，\(H(\omega)\)是傳遞函式。
結論:寬平穩的隨機過程通過線性系統仍然是寬平穩。
\[\begin{aligned} \widetilde{H}(\omega)&=\int_{-\infty}^{+\infty}\widetilde{h}(t)e^{-j\omega t}dt\\ &=\int_{-\infty}^{+\infty}\overline{h(-t)}e^{-j\omega t}dt\\ &=\overline{\int_{-\infty}^{+\infty}h(-t)e^{-j\omega t}dt}\\ &=\overline{\int_{-\infty}^{+\infty}h(t)e^{-j\omega t}dt}\\ &=\overline{H(\omega)}\\ S_y(\omega)&=S_x(\omega)H(\omega)\widetilde{H}(\omega)\\ &=S_x(\omega)H(\omega)\overline{H(\omega)}\\ &=S_x(\omega)|H(\omega)|^2 \end{aligned} \]例：
\[\begin{aligned} |E[X(t)Y(t)]&\leq[E(X^2(t)Y^2(t))]^{\frac{1}{2}}\\ |R_{XY}(0)|&\leq[R_X(0)R_Y(0)]^{\frac{1}{2}}\\ |\frac{1}{2\pi}\int_{-\infty}^{+\infty}S_{XY}(\omega)d\omega|&\leq\frac{1}{2\pi}[\int_{-\infty}^{+\infty}S_X(\omega)d\omega\int_{-\infty}^{+\infty}S_Y(\omega)d\omega]^{\frac{1}{2}}\\ |\int_a^bS_{XY}(\omega)d\omega|&\leq[\int_a^bS_X(\omega)d\omega\int_a^bS_Y(\omega)d\omega]^{\frac{1}{2}}\\(相當於經過一個&帶通濾波器,是線性的) \end{aligned} \]Wiener-Khinchine Relation.
Wiener：Cybernetics控制論，數學，美
Khinchine：排隊論之父，前蘇聯