2 月 20 日 12 時，《張朝陽的物理課》第三十期開播。搜狐創始人、董事局主席兼 CEO 張朝陽坐鎮搜狐視訊直播間。他先帶著網友複習麥克斯韋速度分佈律，補充了速度分佈化為速率分佈的細節，引出關於直角座標系與球座標系的討論，並匯出球座標系的體積元。之後以球殼與質點間的引力計算為例，結合巧妙的積分引數變換，得到具體公式，最終發現球殼所受引力可以等效到其質心上，即質量集中到球心。將球殼積分變為球體也具有同樣的結論。

“今天是複習和反芻的一天。”張朝陽說，“上節課談了玻爾茲曼在速度場和重力場的分佈，今天本來想講點玻爾茲曼分佈更普遍的證明，但比它更重要的，是組合與熵的概念。這樣就得學點熱力學、學點數學，補充點基礎知識。”

區別與聯絡：麥克斯韋速度分佈與速率分佈

張朝陽先帶著網友複習如何推導麥克斯韋速度分佈。“它重點強調理想氣體的各向同性，表明速度分佈只與速率有關。”他解釋說，依據三個垂直方向上速度分佈的獨立性，可以將總的速度分佈函式分解為各個方向上速度分佈函式的乘積；之後取對數，將乘積化為求和的形式，再對某一速度分量求偏導；結合一些簡單的變換，就可以用分離變數法，解出各方向上的速度分佈，進而回過頭來，得到完整的三維速度分佈。

利用球座標系與直角座標系中體積微元之間的關係，可將速度分佈化為速率分佈。張朝陽指出，“速率分佈顯示，粒子速率趨於 0 時，概率密度趨於 0。然而，速度分佈卻顯示，粒子在某方向上的速度為 0 時，概率密度取到最大值。”

怎麼理解這個看似矛盾的結果呢？張朝陽解釋說，速度分佈描述的是，速度處在速度區間 Vx~Vx+dVx、Vy~Vy+dVy、Vz~Vz+dVz 的粒子數，它對 x、y、z 三個分量都有要求，只要其中一個速度分量超出此區間，就不計算在分佈裡面。但是，速率分佈描述的是速率處在速率區間 V~V+dV 的粒子數。由速率與速度的定義，可以知道他們並不是一一對應的。一個速率可以對應多個速度。一個速度區間 A 的粒子，對相應的速率區間 dV 有貢獻；但速率區間 dV，包含的不只有速度區間 A 的粒子，還包含了其它速度區間 B、C、D 等的粒子。由速率與速度之間的關係，可以看出，當速率越小，其在球座標系對應的球面越小，直觀來講就是對應的可取速度狀態數越少。所以，即使速度分佈在各自速度分量趨於 0 時能取到最大值，對速率分佈，當速率趨於 0 時，對應的狀態數急劇下降，概率密度趨於 0。

如何定量描述速率區間與速度區間狀態數的對應關係呢？張朝陽告訴網友，“這就涉及到球座標系體積微元的推導。”

幾何與變換：球座標系的體積微元

張朝陽對著示意圖邊寫公式邊推導。他說，在球座標 (r,θ,φ) 所示的某點上，給 θ 做一個微小的變化 dθ，同時也給 φ 做一個微小的變化 dφ，就會在半徑為 r 的球面上，劃出一個邊長分別為 rdθ 與 rsinθdφ 的小面積元，其面積大小為 r^2sinθdθdφ, 若對 r 再做個微小的變化 dr，則會形成一個以前述面積元為底、高度為 dr 的體積微元，其體積大小是 r^2sinθdθdφdr，這就是球座標區間 θ~θ+dθ、φ~φ+dφ、r~r+dr 所對應的體積。

（推導球座標系的體積元）

在笛卡爾座標系裡，體積微元是 dxdydz；將積分變數從直角座標系變換到球座標系後，就可以將直角座標的體積微元換成 r^2sinθdθdφdr 再繼續積分。當然，類似地，反過來從球座標到直角座標也是可以進行變換的。

同理，將 x，y，z 換成速度 Vx，Vy，Vz，速度區間所示的體積微元 dVxdVydVz 對應到球座標系裡的體積微元就是 V^2sinθdθdφdV，其中 V 是速率。所以當速率趨於零時，體積元以 V^2 方式減小到零，這就解釋了為什麼速率趨於零時對應的速率分佈值也趨於零。

分割、換元、組合、等效：計算均勻球體的引力

作為球座標系的一個典型應用，現在計算質量為 m 的質點與半徑為 r 的球殼之間的引力，質點與球心的距離為 R，具體引數如下圖所示：

（張朝陽巧妙選取積分變數計算球殼與質點的引力）

張朝陽繼續說明，“設球殼密度為 ρ，半徑為 r 的球殼上的小體積元質量為 ρr^2sinθdθdφdr，其與質點的距離設為 l，則球殼與質點 m 之間的引力為：”

如果將 x 與 l 表示為 cosθ 的函式，積分會變得比較難，故嘗試選取其它參量作為積分變數。注意到 cosθ 可由其所在的直角三角形的邊長表示為：

那麼質點 m 與球殼之間的引力為：

現在只剩下 x 與 l 兩個參量，只要將其中一個表示成另一個，就可以做積分。張朝陽選擇將 x 用 l 表示出來，最終全部化成對 l 的積分。為了完成此目的，注意到包含 θ 所在的直角三角形有勾股定理：

利用此公式可以將 x 表示為：

最後代入積分公式裡並完成對 l 的積分後：

注意到球殼的質量為 4πr^2ρdr，R 是質點到球殼的距離，從上述引力的公式可以發現，質點 m 與球殼的引力可以等效地看成是球殼所有質量集中在球心的引力。那麼將球殼按照 r 積分起來，就得到質點 m 與球體之間的引力：

他指出，“可以發現，質點與球體的引力也可以等效地把球體質量看成集中在球心，並且即使球體密度與徑向距離有關，也不影響此結論。”

“球體在宇宙學裡是普遍存在的形狀，可以利用這個結論方便簡易地得到其萬有引力，所以這個結論具有非常重要的意義。”直播結尾，張朝陽告訴網友。