1.9 Solving Ax = b: Row Reduced Form R 閱讀筆記
阿新 • • 發佈：2022-02-22
reference的內容為唯一教程，接下來的內容僅為本人的課後感悟，對他人或無法起到任何指導作用。
非齊次線性方程求解，通解和特解
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Reference
- Course website: Solving Ax = b: Row Reduced Form R | Unit I: Ax = b and the Four Subspaces | Linear Algebra | Mathematics | MIT OpenCourseWare
- Course video: 【完整版-麻省理工-線性代數】全34講+配套教材_嗶哩嗶哩_bilibili
- Course summary: Lecture 8: Solving Ax = b: row reduced form R (mit.edu)
- Extra reading: Section 3.3 in Introduction to Linear Algebra, Fifth Edition by Gilbert Strang.
下面該討論非齊次線性方程的情況了，實在不想討論了，因為大家都會。
Complete Solution
非齊次先行方程的解=齊次線性方程的通解+非齊次線性方程的特解。（記得之前看過證明，但是轉頭就忘了，似乎也沒啥用所以這裡都不講了）
Solution in Nullspace
通解？就是齊次線性方程的解（Ax=0）。化成Reduced Echelon Form就好了。上一講的東西。
Particular Solution
特解？就是“隨便”找一個滿足 \(\boldsymbol{Ax}=\boldsymbol{b}\) 的解，但是我們往往按照某個章法去找。在矩陣求逆的過程中已經知道了增廣矩陣。\(\begin{bmatrix}\boldsymbol{A} & \vdots\boldsymbol{b}\end{bmatrix}\) 化成Reduced Echelon Form \(\begin{bmatrix}\boldsymbol{U} & \vdots\boldsymbol{EPb}=\boldsymbol{c}\end{bmatrix}\)。
首先看全零行對應的向量 \(c\) 的行如果非零，就會出現0=非0的矛盾，因此解不存在。否則沒有全零行或者全零行對應向量的行也是0（0=0恆成立），解必存在。
如果解存在，直接令非主元（自由變數）全0，顯然這時候主元（約束變數）的值就是 \(\boldsymbol{c}\) 的值（按順序從上到下，除去全零行對應的0）。
Conclusion
沒啥用，就理解全零行對應的方程必須是0=0才能有解。