前言

近幾日迴歸競賽後，便開始學些新東西了（對於蒟蒻來說）。這幾天就連續的更新一下自己對斜率優化的學習過程。

1.思想

在一些常見的DP題中，可能會出現形如\(f[i]=\min/\max(f[j]+(sum[i]-sum[j])^2\)的轉移方程式。
這時，我們就可以把後面的二次項展開：

\(f[i]=f[j]+sum[i]^2+sum[j]^2+2*sum[i]*sum[j]\)

\(f[j]+sum[j]^2=2*sum[i]*sum[j]+sum[i]^2+f[i]\)

再將\(2*sum[i]\)看做斜率，\(f[j]+sum[j]\)看做\(y\)，\(sum[j]\)看做\(x\)

2.實現

利用單調佇列維護當前的決策點構成的凸包，在遍歷到\(i\)時，先將斜率小於當前斜率的決策點全部刪去。然後對頭的點就是當前的最優決策點，更新當前值後，在隊尾加點時保證斜率的單調遞增即可。