推導數字頻率與模擬頻率之間的關係

傅立葉變換為：

\[X(\Omega)=\int_{-\infty}^{+\infty}x(t)e^{-j\Omega t}dt \tag{1} \]\[x(t)=\frac{1}{2\pi}\int_{-\infty}^{\infty}X(\Omega)d\Omega \tag{2} \]

但是傅立葉變換存在的充分條件是在無限區間內滿足絕對可積：

\[\int_{-\infty}^{\infty}|x(t)|dt < \infty \]

該條件限制了某些增長訊號如\(e^{at},a>0\)傅立葉變換的存在，對於週期訊號、階躍訊號雖然沒有受到這方面限制，但其變換式中出現衝激函式\(\delta(\Omega)\)

。為了使更多的函式存在變換，並簡化某些變換形式或運算過程，引入一個衰減因子\(e^{-\sigma t}\)（\(\sigma\)為任意實數）使它與\(x(t)\)相乘，於是\(e^{-\sigma t}x(t)\)得以收斂，絕對可積條件就容易滿足。此時\(e^{-\sigma t}x(t)\)的傅立葉變換為：

\[X_{1}(\Omega)=\int_{0}^{+\infty}[x(t)e^{-\sigma t}]e^{-j\Omega t}dt=\int_{0}^{+\infty}x(t)e^{-(\sigma+j\Omega)t}dt \]

將上式中的\(\sigma+j\Omega\)用符號\(s\)

代替：

\[s=\sigma+j\Omega \tag{3} \]

於是可以得到：

\[X(s)=\int_{0}^{+\infty}x(t)e^{-st}dt \tag{4} \]

再利用傅立葉逆變換，尋找由\(X(s)\)求\(x(t)\)的一般表示式：

\[\begin{aligned} x(t)e^{-\sigma t}=\frac{1}{2\pi}\int_{-\infty}^{\infty}X_{1}(\Omega)e^{j\Omega t}d\Omega \\ x(t)=\frac{1}{2\pi}\int_{-\infty}^{\infty}X_{1}(\Omega)e^{(\sigma+j\Omega)t}d\Omega \\ \end{aligned}\]

將\(s=\sigma+j\Omega,ds=jd\Omega\)

帶入上式，並改變積分上下限，可以得到：

\[x(t)=\frac{1}{j2\pi}\int_{\sigma-j\infty}^{\sigma+j\infty}X(s)e^{st}ds \tag{5} \]

至此，得到了拉普拉斯的正反變換分別為\((4),(5)\)。

上述兩個變換都是對連續函式進行分析，但是數字訊號處理處理的都是時間上離散的序列\(x(n)\)，上面兩個變換怎麼對映到序列上去呢？

首先需要對連續訊號進行抽樣，進而得到離散序列\(x(n)\)，假設抽樣間隔為\(T_{s}\)那麼由連續訊號到離散訊號的過程為：

\[x_{s}(t)=\sum_{n=-\infty}^{\infty}x(t)\delta(t-nT_{s})=\sum_{n=-\infty}^{\infty}x(nT_{s})\delta(t-nT_{s}) \]

上式中\(x_{s}(t)\)是\(x(t)\)在離散時刻\(mT_{s}\)的樣點值的集合。

考慮\(x_{s}(t)\)的拉普拉斯變換：

\[\begin{aligned} X_{s}(s)&=\int_{-\infty}^{+\infty}x_{s}(t)e^{-st}dt=\int_{-\infty}^{+\infty}[\sum_{n=-\infty}^{\infty}x(nT_{s})\delta(t-nT_{s})(t)]e^{-st}dt \\ &= \sum_{n=-\infty}^{\infty}x(nT_{s})\int_{-\infty}^{+\infty}\delta(t-nT_{s})e^{-st}dt \\ &= \sum_{n=-\infty}^{\infty}x(nT_{s})e^{-snT_{s}}=X(e^{sT_{s}}) \end{aligned}\]

如果令

\[z=e^{sT_{s}}=e^{(\sigma+j\Omega)T_{s}} \tag{6} \]

並將\(x(nT_{s})\)簡記為一般的離散序列\(x(n)\)，可以得到：

\[X(z)=\sum_{n=-\infty}^{\infty}x(n)z^{-n} \tag{7} \]

這樣拉普拉斯變換就變成了\(z\)變換。

我們知道傅立葉變換中的\(X(\Omega)\)反應的是訊號的頻譜(包括相頻、幅頻特性)，這時對應的拉普拉斯變換中的\(\sigma=0\)。而如果想要得到離散序列的頻譜，相應的\(z\)變換中的\(z=e^{sT_{s}}=e^{\sigma+j\Omega}\)中的\(\sigma\)也要等於0。此時\(z\)變換變為：

\[X(e^{j\Omega T_{s}})=\sum_{n=-\infty}^{+\infty}x(n)e^{j\Omega T_{s}n} \]

令

\[\omega=\Omega T_{s} \tag{8} \]

可以得到

\[X(e^{j\omega})=\sum_{n=-\infty}^{+\infty}x(n)e^{j\omega n} \tag{9} \]

這就是離散序列的傅立葉變換(DTFT)了。

\((8)\)中的\(\omega\)定義為“數字頻率”，而\(\Omega\)正是模擬角頻率，由此可以得出，數字角頻率，模擬角頻率，以及模擬頻率與取樣頻率的關係如下：

\[\omega=\Omega T_{s}=\frac{\Omega}{f_{s}}=\frac{2\pi f}{f_{s}} \tag{10} \]

到了這裡可以發現時域上數值已經離散，但是頻域上還沒有變成離散的，這不適合計算機處理，於是還需要將頻譜也變成離散的，該如何變呢？（下次接著說）