前言：

一道數學題，最難想的小奧部分做對了，最後敗在了篩素數（用了最質樸的方法

Q：求n以內的素數

A：

1.樸素

• 思路：判斷每一個數是否質數

• 時間複雜度：O(nsqrt(n))

• 程式碼：

#include <bits/stdc++.h>
using namespace std;
int n,cnt,keep[10005];
bool judge(int x)
{
	if(x==1) return 0;
	if(x==2) return 1;
	for(int j=2;j*j<=x;++j){if(x%j==0) return 0;}
	return 1;
}
int main()
{
	scanf("%d",&n);
	for(int i=1;i<=n;++i)
		if(judge(i)) keep[++cnt]=i;
	printf("%d\n",cnt);
	for(int i=1;i<=cnt;++i) printf("%d ",keep[i]);
	return 0;
}
 

2.埃氏篩法

• 思路：每篩出一個質數，就標記n以內此素數的倍數不能選

• 時間複雜度：O(nloglogn)

• 程式碼：

#include <bits/stdc++.h>
using namespace std;
int n,cnt,keep[100005],temp[100005];
void sieve(int x)
{
	temp[0]=temp[1]=1;
	for(int i=2;i<=x;++i)
		if(!temp[i])
		{
			keep[++cnt]=i;
			for(int j=i+i;j<=x;j+=i) temp[j]=1;
		}
}
int main()
{
	scanf("%d",&n);
	sieve(n);
	printf("%d\n",cnt);
	for(int i=1;i<=cnt;++i) printf("%d ",keep[i]);
	return 0;
}
 

3.尤拉篩法

• 思路：和2.埃氏篩法略有相似；任何合數都能表示成多個素數的積，列舉最小質因子之積從而標記不可選的數

• 時間複雜度：尤拉篩法 o(n)

• 程式碼：

#include <bits/stdc++.h>
using namespace std;
int n,cnt,keep[100005],vis[100005];
void sieve(int x)
{
	for(int i=2;i<=x;++i)
	{
		if(!vis[i]) keep[++cnt]=i;
		for(int j=1;j<=cnt,i*keep[j]<=x;++j)
		{
			vis[i*keep[j]]=1;//不能與下一句調換位置
			if(i%keep[j]==0) break;//當i是keep[j]的整數倍時（i%keep[j] == 0），i*keep[j+1]肯定被篩過，跳出迴圈
		}
	}
}
int main()
{
	scanf("%d",&n);
	sieve(n);
	printf("%d\n",cnt);
	for(int i=1;i<=cnt;++i) printf("%d ",keep[i]);
	return 0;
}
 

後記：

• 篩素數是一項必備工具
• 樸素做法是必須寫會的
• 後兩種思想相似，思維方向不同
• 感性理解尤拉篩法