DSP的學習一般按照先訊號再系統，先時域再頻域的順序來分析。

離散系統的定義及分類

離散系統的定義

\(x[k]\)經過離散系統後得到\(y[k]\)。

\[y[k]=T\left \{ x[k] \right \} \]

注：\(T\left \{ x[k] \right \}\)代表建立起對應關係。

離散系統的分類（常用）

1. 線性系統
   具有線性特徵：均勻特性與疊加特性，需要同時具備才能稱為線性系統。

\[T\left \{ ax_1[k]+bx_2[k] \right \} = aT\left \{ x_1[k] \right \} +bT\left \{ x_2[k] \right \} \ \]

2. 非線性系統：不具備線性特徵的系統。
3. 非時變系統：系統的零狀態響應與輸入激勵的關係不隨輸入激勵作用於系統的起點而改變。

\[x[k]\longrightarrow y_{zs}[k] ，則x[k-n]\longrightarrow y_{zs}[k-n] \]

4. 時變系統：不滿足非時變特性的系統。
5. 因果系統：系統的輸出響應不超前於系統的輸入訊號。
6. 非因果系統：不具有因果特性的系統稱為非因果系統。
7. 穩定系統：系統對任意的有界輸入其輸出也有界，稱為BIBO穩定系統。
   \(BIBO:Bounded Input, Bounded Output\)
8. 不穩定系統：系統輸入有界時，輸出可能無界。

離散\(LTI\)系統的時域描述

數學模型

離散\(LTI\)

系統的輸入輸出關係可由線性常係數差分方程描述：

\[a_0y[k]+a_1y[k-1]+\dots +a_{N-1}y[k-N-1]+a_Ny[k-N]\\=b_0x[k]+b_1x[k-1]+\dots +b_{M-1}x[k-M-1]+b_Mx[k-M] \]\[或 \]\[\sum_{i=0}^{N} a_iy[k-i]=\sum_{j=0}^{M} b_jx[k-j]\\其中a_i(i=0,1,\dots ,N)，b_j(j=0,1,\dots,M) \]

差分特性：

\[\bigtriangledown x[k]\longrightarrow \bigtriangledown y[k] \]

求和特性：

\[\sum_{n=-\infty }^{k} x[n]=\sum_{n=-\infty }^{k} y[n] \]

時域描述

單位脈衝響應\(h[k]\)是離散\(LTI\)系統的時域描述。
\(h[k]\)是單位脈衝序列\(\delta [k]\)激勵系統所產生的零狀態響應。

\[h[k]=T\left \{ \delta[k] \right \} \]

離散\(LTI\)系統是因果系統的充分必要條件：

\[h[k]=0,k<0 \]

離散LTI系統是穩定系統的充分必要條件

\[\sum_{k=-\infty }^{\infty } \left | h[k] \right | =S<\infty \]

補充：滑動平均系統（參考：[離散時間訊號處理學習筆記] 3. 一些基本的LTI系統）
滑動平均系統的目的是取輸入序列當中的某一段，對該段內的所有數值求得平均值作為輸出。
\(M1+M2+1\)點滑動平均系統的輸入-輸出關係為：

\[y[k]=\frac{1}{M_{1}+M_{2}+1} \sum_{n=-M_{1}}^{M_{2}} x[k+n] \]

該系統的單位脈衝響應\(h[k]\)為：

\[h[k]=\frac{1}{M_{1}+M_{2}+1} \sum_{n=-M_{1}}^{M_{2}} \delta[k+n] \]\[h[k]=\left\{\begin{array}{lr} \frac{1}{M_{1}+M_{2}+1} & -M_{2} \leq k \leq M_{1} \\ 0 & \text { else } \end{array}\right.\]

離散\(LTI\)系統響應的分析

可以將任意\(x[k]\)表示為\(\delta [k]\)的組成：

\[x[k]=\sum_{n=-\infty }^{\infty} x[n]\delta [k-n] \]

則通過系統的單位脈衝響應\(h[k]\)來計算系統在\(x[k]\)作用下產生的\(y[k]\)：

\[y[k]=\sum_{n=-\infty }^{\infty} x[n]h[k-n]=x[k]*h[k] \]

序列卷積和的工程應用

1. 已知輸入\(x\)及系統\(H\)，求解輸出\(y\)，稱為正問題。
2. 已知輸出\(y\)及系統\(H\)，求解輸入\(x\)；或已知輸出\(y\)及輸入\(x\)，求解系統\(H\)；稱為逆問題。
3. 已知輸出\(y\)及部分系統\(H\)，求解輸入\(x\)；或已知輸出\(y\)及部分輸入\(x\) ，求解系統\(H\)，稱為灰盒問題。
4. 已知輸出\(y\)，未知輸入\(x\)和系統\(H\)，稱為黑盒問題。