一些關於DP的小優化：

字首和優化（用於 \(dp[i]=dp[i-k]+v[i]\)的轉移）

bitset優化（01揹包（價值能否取到），常數為 \(\omega=1/32\)）

單調佇列優化（求恆長區間最大/小值）

二進位制優化（完全揹包問題，\(O(n^2\ logn)\) ）：P1776

線段樹優化：CF1557D

斜率優化：見下文

樹鏈剖分（DDP）

---

斜率優化：

本蒟蒻終於被迫學習斜率優化了

這類問題的優化的轉移方程是：\(b(i)=max/min\{y(j)-k(i)\times x(j)\},j < i\)

以本題為例：

一個樸素的轉移方程：

\[dp[i]=min(dp[j]+(i-j-1+sum[i]-sum[j]-L)^2) \]

其中，\(sum[i] = \sum_{k=1}^jc[k]\)

再合併，令 \(pre[i]=sum[i]+i\)

得：

\[dp[i]=min(dp[j]+(pre[i]-pre[j]-(L+1))^2) \]

強拆！

\[dp[i]=min(dp[j]+(pre[i]-(L+1))^2-2(pre[i]-(L+1))\times pre[j]+pre[j]^2) \]

移項：

\[dp[i]-(pre[i]-(L+1))^2=min(dp[j]-2(pre[i]-(L+1))\times pre[j]+pre[j]^2) \]

令

\[\begin{aligned} b_i&=dp[i]-(pre[i]-(L+1))^2,\\ x_j&=pre[j],\\ y_j&=dp[j]+pre[j]^2,\\ k_i&=2(pre[i]-(L+1))\\ \end{aligned}\]

那就變成了 \(y = kx+b\)

的轉換式 \(b = y - kb\)

我們要最小化 \(b\) ，就是最小化直線的截距

我們可以將 \((x_j,y_j)\) 看作平面上的點，現在有一條斜率為 \(k_i\) 的直線，從下往上移動，碰到的第一個點就是我們的轉移決策點（因為要最小化 \(b_i\)）

實際上，我們只需要維護下凸殼的那些點，而對於本題，顯然 \(k_i\) 隨 \(i\) 的增大而增大，所以我們只需要用一個單調佇列來維護凸殼上的點

借用 OI-Wiki 中的圖：

我們令 \(K(q_{e-1},q_e)\) 為 \((x_{q_{e-1}},y_{q_{e-1}})\) 與 \((x_{q_{e}},y_{q_{e}})\)

兩點連線的斜率

顯然，我們要找的決策點就是凸殼中滿足 \(K(q_{e-1},q_e)\le k_i < K(q_e,q_{e+1})\) 的點 \(e\)

因為 \(k_i\) 是遞增的，所以下一次 DP 只需要從 \(e\) 開始找決策點，這樣均攤下來就是 \(O(1)\) 的

又因為 \(x_i=pre[i]\) 是遞增的，所以點 \(i\) 一定會加入到凸殼中，我們只需要將 \(K(q_{e-1},q_e)<=K(q_e,(x_i,y_i))\) 的點彈出，再將 \(i\) 加入到佇列即可

注意：佇列的初始狀態應該是有一個點 (0,0) ，否則 \(c_1\) 將永遠無法和後面的玩具合併，導致錯誤！

---

一般化

但如果我們將上述題目的條件改改，使得 \(c_i\) 可以為負，那麼這時候 \(k_i\) 和 \(x_i\) 就不單調遞增了，是不是就做不了了？？？

當然不是啊，不然我提出這個問題幹嘛

對於 \(k_i\) （斜率）不單調的話，我們直接在凸殼上二分，還是找滿足原來那個條件的點即可

但如果 \(x_i\) 不是單調的，我們就很難去更新凸殼了

一種方法就是用平衡樹維護凸包，就是找到 \(x_j \le x_i \le x_{j+1}\) 的地方，根據凸包的性質不斷向兩邊刪點（或者自己本來就在凸包裡面就不用管了）

但用平衡樹十分滴複雜，有沒有更好寫的演算法？（其實用 set 是可以實現的）

有！就是我們萬能的 CDQ分治

我們假定分治到 \((l,r)\)，且 \((l,mid)\) 已經處理完了，現在要對 \((mid+1,r)\) 進行貢獻

注意：這時候 \((mid+1,r)\) 還沒有分治下去！

我們先將 \((l,mid)\) 的點以 \(x\) 為第一關鍵字， \(y\) 為第二關鍵字排序，然後就直接求一遍凸殼

然後我們再將 \((mid+1,r)\) 按照斜率 \(k\) 將編號從小到大排序

這時候我們就可以正常像上面用單調佇列跑 DP 了

轉移完後，顯然 \((l,mid)\) 的決策點已經沒有用處了，我們可以直接將其捨棄掉，轉到 \((mid+1,r)\) 的分治

整個分治的時間複雜度是 \(O(nlog^2n)\) 的。

當然，我們也可以用 李超線段樹 直接跑 DP ，就是將上面的 \(k,x,y,b\) 稍微換一下，每次 DP 在樹上查詢最大/小值，求完後再更新線段樹即可