ARC 114

3.13開的一場vp。
拉的不行，只做出了前 2 道。

A.Not coprime

• 題意: 找最小的一個數和陣列 \(X\) 中的每個數都不互質。
  做法：由於 \(X_i\) 很小，只有 \(15\) 個質因數，直接列舉所有情況即可， 時間複雜度 \(O(n2^{15})\)。

賽時wa了兩發。

第一發以為直接列舉即可，但是發現了15個質因數的和可能很大。

第二發最小值初始值設小了。

B. Special Subsets

• 題意: 給出陣列 \(f(n\leq 2 \times 10^5，1\leq f_i \leq n)\) , 選出一些數，滿足以下條件：
  1. 如果 \(i\)
  被選，那麼 \(f_i\) 就得被選。
  2. 如果 \(a \neq b\), 且 \(a, b\) 被選，那麼 \(f_a \neq f_b\)。
  求方案數。
• 做法：第一個條件實際上就是一個依賴關係，會選出一個環可能帶一條鏈，第二個條件表明一個每個點的入度為 1，這樣的東西只能是環了。
  做法就很顯然了，拓撲排序找出所有的環，記個數為 \(c\), 答案即是 \(2^c - 1\)。

賽時wa了一發，原因是陣列沒開大。

C.Sequence Scores

• 題意: 只給出序列長度 \(n (\leq 5000)\), 每個數的範圍 \(1\sim m(\leq 5000)\)。
  初始有全零的序列，每次操作可以任選一段區間 chkmax 一個任選的數，
  記 \(f(S)\)
  表示，變成這個序列 \(S\) 的最小操作次數，求 \(m^n\) 種序列的 \(f(S)\) 的和。
• 做法： 考慮新加入一個數 \(S_i\) 造成的 \(f(S)\) 的變化。
  1. 如果前面有數 \(S_j = S_i\), 並且 \(j + 1 \sim i - 1\) 這段的 \(S\) 都 \(\geq S_i\), 那麼可以在 \(j\) 操作的時候順帶把這位chkmax，這樣就沒有變化了， 否則變化 1。
  2. 如果沒有出現過，那麼就會變化 1.
  現在只需要考慮如何計算總變化，求補集即可。那麼列舉當前的數 \(x\)，在列舉相同出現的位置：
  $$\Delta_{x} = m^{i - 1} - \sum_{j = 0}^{i - 1}(m - x)^{i - j - 1} m^{j - 2}$$
  求答案時,
  $$\text{ans}_i = \sum _{x=1}^m \text{ans} _{i - 1} + \Delta _{x}$$
  賽時一直想怎麼dp，就做不出來了。

D. Moving Pieces on Line

• 題意: 給出一些點 \(a (|a_i| \leq 10^9, n\leq 5000， n \equiv 0 \pmod 2)\), 和一些區間 \(b\)。
  初始時，數軸上的邊都是紅色，你可以對點 \(a\) 左右移，邊被經過一次，代價為 1， 就會將顏色翻轉，紅變藍或藍變紅。
  求最小代價，使得每個區間都是藍色。
• 做法：觀察到，點\(a\) 只往一個方向移動，回頭肯定不優。
  區間問題不好做，考慮差分變成單點問題， 這就發現顏色翻轉和異或有關，這樣就會變成異或差分。
  問題轉化為，剛開始對 \(n\) 個點和區間兩端異或 \(1\), 有 \(n\) 個剩餘的 \(1\) 可以隨意異或，代價是和起點的距離，要求最後是全0。
  考慮無解的情況， 當 \(n\) 個點比初始 \(1\) 的個數少時，那就一定不能使得最後全為 0。
  剩下就是匹配問題，當點數相同時，顯然貪心距離最小的優先匹配。
  但是 \(n\) 個點比初始 \(1\) 的個數多時，\(n\) 個點內部還要自己匹配，相鄰兩點匹配也是最優的。
  於是設 \(f_{i, j}\) 表示可以用 \(i\) 個 1匹配，剩下 \(j\) 個要消去。
  轉移可以 從 \(f_{i - 1, j - 1}\) 和 \(f_{i - 2, j}\) 來。

E. Paper Cutting 2

• 題意：給出一個 \(W \times H (W, K \leq 10^5)\) 的矩陣，有 \(H - 1\) 條可以切開的豎線 和 \(W - 1\) 條可以切開的橫線，
  如果切到給定的一個子矩陣 \((w1, h1), (w2, h2)\)就停止，否則將選擇有給定子矩陣的那一塊，求期望切的次數。
• 做法：由於期望有線性性，考慮拆開每條線的對總期望的貢獻。
  由於四個方向的線相互獨立，可以拆開。
  以子矩陣右邊的豎線為例，它能貢獻一次的情況是
  1. 子矩陣沒被切到，有 \(k = w2 - w1 + h2 - h1\) 條。
  2. 豎線到子矩陣的豎線條數，有 \(c\) 條。
  能貢獻一次的概率當且僅當 在 \(k + c\) 條線中第一次被切到，於是期望次數就是 \(\frac{1}{k + c}\)。
  對每一條線的期望求和就是答案 。

F. Permutation Division

• 題意：給出 \(n(\leq 2 \times 10^5)\) 個數的排列 \(P\), 要把排列分成 \(k\) 個連續段，要使這 \(k\) 個段重排後的 \(Q\) 的最大字典序最小，並求出這個字典序 \(Q\)。
• 做法：注意到，\(Q\) 的字典序總是大於等於 \(P\)。
  又注意到，開頭的 \(P_1\) 一定是某一段的開頭。
  顯然使得段重排的字典序最大，就要按段開頭的數字的字典序排序。
  就考慮 \(P_1\) 和 \(k\) 的關係。
  1. 如果 \(P_1 \leq k\), 那麼每段開頭一定是 \(1 \sim k\), 重排就是最小的字典序了。
  2. 如果 \(P_1 \geq k\), 這時是挑 \(1 \sim k - 1\)為開頭嗎？不一定是最小。
  求字典序最小，就來點強的約束條件，求出 \(Q\) 與 \(P\) 的最長公共字首。
  用二分就可以判定了, 記長度為 \(l\)。
  為了使前字首的不變，那麼就一定要選出一個包含 \(P_1\) 的 \(1\sim l\) 的下降子序列，子序列長度就是拆分的段數。
  又要剩下的數分成段不排到前面，就要滿足拆分的段的開頭 \(< P_l\)，為了存在合法的情況，就要使得子序列的長度儘可能長，就越容易找出合法的序列。
  記 \(1\sim l\)的最長下降子序列的長度是 \(a\), 那麼只要選剩下 \(1\sim k - a\) 小的開頭重排就是最小的 \(Q\)。