刷題記錄2022.3[2]
CF1580D Subsequence
觀察減法部分，可以發現可以用笛卡爾樹+樹形揹包完成，每次合併節點 \(u\) 的兩個兒子的時候，假設物品數分別為 \(i,j\) ，那麼合併的答案顯然要減去 \(2ija_u\) （這裡乘二是因為每一對詢問兩次），如果要選上 \(u\) ，那麼還需要減去 \(a_u \times (2\times \text{除 } u \text{ 以外選擇的個數}+1)\) 。
[AGC009C] Division into Two
首先設定 \(A>B\)
觀察性質，如果存在 \(i(1\leq i\leq n-2)\) ，有 \(a_{i+2}-a_i<B\) ，這時無論如何分 \(i,i+1,i+2\) ，都是不滿足條件的。因此此時答案為 \(0\) 。
接下來用 \(\rm dp\) 解決，設 \(f(i)\) 表示考慮了前 \(i\) 個元素，其中強制令 \(i\) 放入集合 \(A\) 。顯然這時候需要列舉上一個放入 \(A\) 的元素 \(j\) ，而這個 \(j\) 需要滿足下面的條件：
- \(a_i-a_j\ge A\)
- \(\forall{p\in[j+1,i-2]\cap \mathbb{Z}}, a_{p+1}-a_p\ge B\)
第一個條件顯然限制了 \(j\) 的最大值，而第二個條件限制了 \(j\) 的最小值，用字首和維護一下 \(f\) 即可。
CF1299D Around the World
首先將和節點 \(1\) 相關的邊都刪掉，這樣會有若干個聯通塊。
如果聯通塊和 \(1\) 只有一條邊相連，因為路徑權值是異或和，對聯通塊設一個線性基，接下來找到一顆生成樹，然後將僅含一條非樹邊的環加入這個聯通塊的線性基中，可以認為任何一條從 \(1\) 到某個點然後再回到 \(1\) 的人和路徑（包括不簡單路徑）都可以用樹上路徑配合若干個先前提到的環組成。（這個套路來自\(\text{CF938G Shortest Path Queries}\)
如果聯通塊和 \(1\) 有兩條邊相連，那麼實際上有兩種情況：
- 選擇其中一條邊，可以發現這時候和先前完全一樣，而且線性基和選擇哪一條邊無關。
- 選擇兩條邊，那麼這時候實際上是線上性基中加入了一個三元環（題目說只有三元環）。同理，這個三元環不能和之前的環線性相關。
接下來可以選擇一些聯通塊，這個似乎做不了，因為線性基的數量過多？但是很多線性基實際上是一樣的，將線性基消成最小的（將若干二進位制數拼起來之後字典序最小），發現這時候只有不到 \(400\) 個不同線性基，那麼就可以 \(\rm dp\) 了，要先預處理出兩個線性基合併之後得到的線性基作為轉移。
[HAOI2011]problem a
將每個人的資訊 \((a_i,b_i)\) 轉化一下，就是和他相同分數的區間為 \([a_i+1,n-b_i]\) 。
將相同的區間合併一下，合併之後的人數設為這個區間的權值 \(w[l,r]\) ，問題轉化一下：選擇不相交的若干區間，令選擇的區間的權值和最大，這時候可以將區間按右端點排序，設 \(f(i)\) 表示考慮了前 \(i\) 個區間，強制選擇第 \(i\) 個區間的最大權值和，那麼有：
\[f(i) = \max_{j<i\wedge r_j<l_i}\{f(j)+w[l_i,r_i]\} \]特別的，令 \(l_0=0,r_0=0\) 。