樹狀陣列

部分轉自Xenny

前置芝士

1. 什麼是樹狀陣列

   用陣列來模擬樹形結構

2. 可解決問題

   解決大部分基於區間上的更新以及求和問題

3. 和線段樹的區別

   樹狀陣列可以解決的問題都可以用線段樹解決，但是樹狀陣列碼量小，係數少（很多）

4. 優點和缺點

   修改和查詢的複雜度都是O(logN)，而且相比線段樹係數要少很多，比傳統陣列要快，而且容易寫。

   缺點是遇到複雜的區間問題還是不能解決，功能還是有限。

基礎

介紹

對於一般的二叉樹,我們是這樣畫的


如果每個父親都存的是兩個兒子的值，是不是就可以解決這類區間問題了呢。是的沒錯，但是這樣的樹形結構，叫做線段樹。

那真的的樹形結構是怎樣的，和上圖類似，但省去了一些節點，以達到用陣列建樹。


黑色陣列代表原來的陣列（下面用A[i]代替），紅色結構代表我們的樹狀陣列(下面用C[i]代替)，發現沒有，每個位置只有一個方框，令每個位置存的就是子節點的值的和，則有

• C[1] = A[1];
• C[2] = A[1] + A[2];
• C[3] = A[3];
• C[4] = A[1] + A[2] + A[3] + A[4];
• C[5] = A[5];
• C[6] = A[5] + A[6];
• C[7] = A[7];
• C[8] = A[1] + A[2] + A[3] + A[4] + A[5] + A[6] + A[7] + A[8];

可以發現，這顆樹是有規律的

\(C[i] = A[i - 2^k+1] + A[i - 2^k+2] + ... + A[i]\); //k為i的二進位制中從最低位到高位連續零的長度(或最低位到低位1的長度)

例如i = 8(1000)時候，k = 3，可自行驗證。

這個怎麼實現求和呢，比如我們要找前7項和，那麼應該是SUM = C[7] + C[6] + C[4];

而根據上面的式子，容易得出**\(SUM_i = C[i] + C[i-2^{k1}] + C[(i - 2^{k1}) - 2^{k2}] + .....\) **

其實樹狀陣列就是一個二進位制上面的應用。

現在新的問題來了2^k該怎麼求呢，不難得出2^k = i&(i^(i-1));但這個還是不好求出呀，前輩的智慧就出來了，2^k = i&(-i);

為什麼呢？

這裡利用的負數的儲存特性，負數是以補碼儲存的，對於整數運算 x&(-x)有
● 當x為0時，即 0 & 0，結果為0；
●當x為奇數時，最後一個位元位為1，取反加1沒有進位，故x和-x除最後一位外前面的位正好相反，按位與結果為0。結果為1。
●當x為偶數，且為2的m次方時，x的二進位制表示中只有一位是1（從右往左的第m+1位），其右邊有m位0，故x取反加1後，從右到左第有m個0，第m+1位及其左邊全是1。這樣，x& (-x) 得到的就是x。
●當x為偶數，卻不為2的m次方的形式時，可以寫作x= y * (2^k)。其中，y的最低位為1。實際上就是把x用一個奇數左移k位來表示。這時，x的二進位制表示最右邊有k個0，從右往左第k+1位為1。當對x取反時，最右邊的k位0變成1，第k+1位變為0；再加1，最右邊的k位就又變成了0，第k+1位因為進位的關係變成了1。左邊的位因為沒有進位，正好和x原來對應的位上的值相反。二者按位與，得到：第k+1位上為1，左邊右邊都為0。結果為2^k。
總結一下：x&(-x)，當x為0時結果為0；x為奇數時，結果為1；x為偶數時，結果為x中2的最大次方的因子。

而且這個有一個專門的稱呼，叫做lowbit，即取2^k。(下面有程式碼)

構造及程式碼

上面已經解釋瞭如何用樹狀陣列求區間和，那麼如果我們要更新某一個點的值呢，還是一樣的，上面說了\(C[i] = A[i - 2^k+1] + A[i - 2^k+2] + ... + A[i]\) ，那麼如果我們更新某個A[i]的值，則會影響到所有包含有A[i]位置。如果求A[i]包含哪些位置裡呢，同理有

A[i] 包含於 $C[i + 2^k]、C[(i + 2^k) + 2^k]...；

好，現在已經搞清楚了更新和求和，就可以來建樹狀陣列了。如果上面的求和、更新或者lowbit步驟還沒搞懂的化，建議再思考弄懂再往下看。

那麼構造一個樹狀陣列則為

int n;
int a[1005],c[1005]; //對應原陣列和樹狀陣列

int lowbit(int x){
    return x&(-x);
}

void updata(int i,int k){    //在i位置加上k
    while(i <= n){
        c[i] += k;
        i += lowbit(i);
    }
}

int getsum(int i){        //求A[1 - i]的和
    int res = 0;
    while(i > 0){
        res += c[i];
        i -= lowbit(i);
    }
    return res;
}

模板題

HDU-1166

思路

板子不需要思路

程式碼

#include<iostream>
#include<cstdio>
#include<algorithm>
#include<cstring>
#include<string>

using namespace std;
const int maxn=50010;
int a[maxn],c[maxn];
int t,n;

int lowbit(int x){
	return x&(-x);
}

void update(int i,int k){
	while(i<=n){
		c[i]+=k;
		i+=lowbit(i);
	}
}

int getsum(int i){
	int res=0;
	while(i>0){
		res+=c[i];
		i-=lowbit(i); 
	}
	return res;
}

int query(int l,int r){
	return getsum(r)-getsum(l-1);
}

int main(){
	scanf("%d",&t);
	for(int tot=1;tot<=t;tot++){
		cout<<"Case "<<tot<<":"<<endl;
		memset(a,0,sizeof(a));
		memset(c,0,sizeof(c));
		scanf("%d",&n);
		for(int i=1;i<=n;i++){
			scanf("%d",&a[i]);
			update(i,a[i]);
		}
		string s;
		int x,y;
		while(1){
			cin >> s;
			if(s[0]=='E') break;
			scanf("%d%d",&x,&y);
			if(s[0]=='Q') printf("%d\n",query(x,y));
			else if(s[0]=='A') update(x,y);
			else if(s[0]=='S') update(x,-y);
		}
	}
	return 0;
}

進階構造及程式碼

上面介紹的是最普通的單點更新，區間查詢，但如果有些時候是區間更新，單點求和怎麼辦，又或是區間更新，區間求和怎麼辦。這裡將介紹各種情況該怎麼寫。

如果上面的單點更新，區間查詢還沒看懂，建議再思考再往下看。

區間更新、單點查詢

這就是第一個問題，如果題目是讓你把x-y區間內的所有值全部加上k或者減去k，然後查詢操作是問某個點的值，這種時候該怎麼做呢。如果是像上面的樹狀陣列來說，就必須把x-y區間內每個值都更新，這樣的複雜度肯定是不行的，這個時候，就不能再用資料的值建樹了，這裡我們引入差分，利用差分建樹。

假設我們規定A[0] = 0;

則有 A[i] = Σij = 1D[j];(D[j] = A[j] - A[j-1])，即前面i項的差值和，這個有什麼用呢？例如對於下面這個陣列

• A[] = 1 2 3 5 6 9
• D[] = 1 1 1 2 1 3

如果我們把[2,5]區間內值加上2，則變成了

• A[] = 1 4 5 7 8 9
• D[] = 1 3 1 2 1 1

發現了沒有，當某個區間[x,y]值改變了，區間內的差值是不變的，只有D[x]和D[y+1]的值發生改變，至於為什麼我想我就不用解釋了吧。

所以我們就可以利用這個性質對D[]陣列建立樹狀陣列，程式碼為：

1 int n,m;
 2 int a[50005] = {0},c[50005]; //對應原陣列和樹狀陣列
 3 
 4 int lowbit(int x){
 5     return x&(-x);
 6 }
 7 
 8 void updata(int i,int k){    //在i位置加上k
 9     while(i <= n){
10         c[i] += k;
11         i += lowbit(i);
12     }
13 }
14 
15 int getsum(int i){        //求D[1 - i]的和，即A[i]值
16     int res = 0;
17     while(i > 0){
18         res += c[i];
19         i -= lowbit(i);
20     }
21     return res;
22 }
23 
24 int main(){
25     cin>>n;27     for(int i = 1; i <= n; i++){
28         cin>>a[i];
29         updata(i,a[i] - a[i-1]);   //輸入初值的時候，也相當於更新了值
31     }
32     
33     //[x,y]區間內加上k
34     updata(x,k);    //A[x] - A[x-1]增加k
35     updata(y+1,-k);        //A[y+1] - A[y]減少k
36     
37     //查詢i位置的值
38     int sum = getsum(i);
39 
40     return 0;
41 }

這樣就把原來要更新一個區間的值變成了只需要更新兩個點。

區間更新、區間查詢

上面我們說的差值建樹狀陣列，得到的是某個點的值，那如果我既要區間更新，又要區間查詢怎麼辦。這裡我們還是利用差分，由上面可知

\[sum[i]=\sum\limits_{i=1}^nA[i]=\sum\limits_{i=1}^n\sum\limits_{j=1}^iD[j] \]

則

\[\begin{aligned}A[1]+A[2]+...+A[n]&=(D[1])+(D[1]+D[2])+...+(D[1]+D[2]+...+D[n])\\&=n*D[1]+(n-1)*D[2]+...+D[n]\\&=n*(D[1]+D[2]+...+D[n])-(0*D[1]+1*D[2]+...+(n-1)*D[n])\end{aligned} \]

所以上式可變為

\[\sum\limits_{i=1}^nA[i]=n*\sum\limits_{i=1}^nD[i]-\sum\limits_{i=1}^n(D[i]*(i-1)) \]

如果你理解前面的都比較輕鬆的話，這裡也就知道要幹嘛了，維護兩個數狀陣列，

sum1[i] = D[i]，sum2[i] = D[i]*(i-1);

int n,m;
int a[50005] = {0};
int sum1[50005];    //(D[1] + D[2] + ... + D[n])
int sum2[50005];    //(1*D[1] + 2*D[2] + ... + n*D[n])

int lowbit(int x){
    return x&(-x);
}

void updata(int i,int k){
    int x = i;    //因為x不變，所以得先儲存i值
    while(i <= n){
        sum1[i] += k;
        sum2[i] += k * (x-1);
        i += lowbit(i);
    }
}

int getsum(int i){        //求字首和
    int res = 0, x = i;
    while(i > 0){
        res += x * sum1[i] - sum2[i];
        i -= lowbit(i);
    }
    return res;
}

int main(){
    cin>>n;
    for(int i = 1; i <= n; i++){
        cin>>a[i];
        updata(i,a[i] - a[i-1]);   //輸入初值的時候，也相當於更新了值
    }

    //[x,y]區間內加上k
    updata(x,k);    //A[x] - A[x-1]增加k
    updata(y+1,-k);        //A[y+1] - A[y]減少k

    //求[x,y]區間和
    int sum = getsum(y) - getsum(x-1);

    return 0;
}

附送兩道模板題，程式碼什麼的就不給了

區間修改、單點查詢模板題目

區間修改、區間查詢模板題目