1 介紹

　　拉普拉斯特徵對映（Laplacian Eigenmaps）是一種不太常見的降維演算法，它看問題的角度和常見的降維演算法不太相同，是從區域性的角度去構建資料之間的關係。也許這樣講有些抽象，具體來講，拉普拉斯特徵對映是一種基於圖的降維演算法，它希望相互間有關係的點（在圖中相連的點）在降維後的空間中儘可能的靠近，從而在降維後仍能保持原有的資料結構。

2 推導

　　拉普拉斯特徵對映通過構建鄰接矩陣為 $W$ (鄰接矩陣定義見這裡) 的圖來重構資料流形的區域性結構特徵。其主要思想是，如果兩個資料 例項 $i$ 和 $j$ 很相似，那麼 $i$ 和 $j$ 在 降維後目標子空間中應該儘量接近。設資料例項的數目為 $n$ ，目標子空間即最終的降維目標的維度為 $m$ 。 定義 $ n \times m$ 大小的矩陣 $Y$ ，其中每一個行向量 $y_{i}^{T}$ 是資料例項 $i$ 在目標 $m$ 維子空間中的向量表示（即降維後的資料例項 $i$ ）。我們的目的是 讓相似的資料樣例 $i$ 和 $j$ 在降維後的目標子空間裡仍舊儘量接近，故拉普拉斯特徵對映優化的目標函式如下:

　　　　$\min \sum\limits _{i, j}\left\|y_{i}-y_{j}\right\|^{2} W_{i j}$

　　下面開始推導：

　　　　$ \begin{array}{l} \sum\limits_{i=1}^{n} \sum\limits_{j=1}^{n}&\left\|y_{i}-y_{j}\right\|^{2} W_{i j} \\ &=\sum\limits_{i=1}^{n} \sum\limits_{j=1}^{n}\left(y_{i}^{T} y_{i}-2 y_{i}^{T} y_{j}+y_{j}^{T} y_{j}\right) W_{i j} \\ &=\sum\limits_{i=1}^{n}\left(\sum\limits_{j=1}^{n} W_{i j}\right) y_{i}^{T} y_{i}+\sum\limits_{j=1}^{n}\left(\sum\limits_{i=1}^{n} W_{i j}\right) y_{j}^{T} y_{j}-2 \sum\limits_{i=1}^{n} \sum\limits_{j=1}^{n} y_{i}^{T} y_{j} W_{i j} \\ &=2 \sum\limits_{i=1}^{n} D_{i i} y_{i}^{T} y_{i}-2 \sum\limits_{i=1}^{n} \sum\limits_{j=1}^{n} y_{i}^{T} y_{j} W_{i j} \\ &=2 \sum\limits_{i=1}^{n}\left(\sqrt{D_{i i}} y_{i}\right)^{T}\left(\sqrt{D_{i i}} y_{i}\right)-2 \sum\limits_{i=1}^{n} y_{i}^{T}\left(\sum\limits_{j=1}^{n} y_{j} W i j\right) \\ &=2 \operatorname{trace}\left(Y^{T} D Y\right)-2 \sum\limits_{i=1}^{n} y_{i}^{T}(Y W)_{i} \\ &=2 \operatorname{trace}\left(Y^{T} D Y\right)-2 \operatorname{trace}\left(Y^{T} W Y\right) \\ &=2 \operatorname{trace}\left[Y^{T}(D-W) Y\right] \\ &=2 \operatorname{trace}\left(Y^{T} L Y\right) \end{array} $

　　其中 $W $ 是圖的鄰接矩陣，對角矩陣 $D$ 是圖的度矩陣 $\left(D_{i i}=\sum\limits_{j=1}^{n} W_{i j}\right)$ ，$ L=D-W$ 成為圖的拉普拉斯矩陣。

　　變換後的拉普拉斯特徵對映優化的目標函式如下:

　　　　$\begin{array}{l}\min \operatorname{trace}\left(Y^{T} L Y\right)\\ \text { s.t. } Y^{T} D Y=I \end{array}$

　　其中限制條件  $s . t . Y^{T} D Y=I$ 保證優化問題有解，下面用拉格朗日乘子法對目標函式求解:

　　　　$f(Y)=\operatorname{tr}\left(Y^{T} L Y\right)+\operatorname{tr}\left[\Lambda\left(Y^{T} D Y-I\right)\right]$

　　　　$\begin{array}{l} \frac{\partial f(Y)}{\partial Y}&=L Y+L^{T} Y+D^{T} Y \Lambda^{T}+D Y \Lambda \\ &=2 L Y+2 D Y \Lambda=0 \end{array}$

　　　　$\therefore L Y=-D Y \Lambda$

　　其中用到了矩陣的跡的求導，具體方法見 跡求導。 $\Lambda$ 為一個對角矩陣，另外 $L$ 、 $D$ 均為實對稱矩陣，其轉置與自身相等。對於單獨的 $y$ 向量，上式可寫為: $L y=\lambda D y$，這是一個廣義特徵值問題。通過求得 $m$ 個最小非零特徵值所對應的特徵向量，即可達到降維的目 的。

　　關於這裡為什麼要選擇 $m$ 個最小非零特徵值所對應的特徵向量。將 $L Y=-D Y \Lambda $ 帶回到 $\min \operatorname{trace}\left(Y^{T} L Y\right)$ 中，由於有著約束條件 $Y^{T} D Y=I$ 的限制，可以得到 $ \min \quad \operatorname{trace}\left(Y^{T} L Y\right)=\min \quad t r a c e(-\Lambda)$ 。即為特 徵值之和。我們為了目標函式最小化，要選擇最小的 $m$ 個特徵值所對應的特徵向量。

3 步驟

　　使用時演算法具體步驟為:

　　步驟1：構建圖

　　　　使用某一種方法來將所有的點構建成一個圖，例如使用KNN演算法，將每個點最近的K個點連上邊。K是一個預先設定的值。

　　步驟2：確定權重

　　　　確定點與點之間的權重大小，例如選用熱核函式來確定，如果點 i 和點 j 相連，那麼它們關係的權重設定為：

　　　　$W_{i j}=e^{-\frac{\left\|x_{i}-x_{j}\right\|^{2}}{t}}$

　　　　另外一種可選的簡化設定是 $W_{i j}=1$ 如果點 $i$ ，$ j$ 相連，否則 $W_{i j}=0 $ 。

　　步驟3：特徵對映

　　　　計算拉普拉斯矩陣 $L$ 的特徵向量與特徵值: $L y=\lambda D y $

　　　　使用最小的 $m$ 個非零特徵值對應的特徵向量作為降維後的結果輸出。