計算機的缺陷

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　　阿蘭-圖靈被《圖靈作品集》^[1]的總編輯P.N. Furbank教授描述為 "科學的領軍人物之一"。

圖1：阿蘭-圖靈

　　60年前，圖靈最著名的論文發表了，他在第一臺儲存程式的數字計算機開始執行的十年前就提出了通用計算機的概念。

　　這只是圖靈眾多成就中的一項。現在人們知道，二戰期間在布萊切利公園圖靈破譯德國恩尼格瑪密碼的工作為這場戰爭的勝利作出了重大貢獻——儘管他最親密的朋友直到圖靈在1954年因服用氰化鉀而不幸去世都一直不知道這一點。

圖2a。英格瑪機器。(圖片來源：[

　　圖靈的戰時工作表明計算機的重要性。儘管大部分黑客工作是以機械方式完成的，但這也離不開巨大的人類計算機團隊。

圖2b: 編碼轉子的特寫。

　　他戰時工作的另一個特點是使用了概率論。圖靈在這一領域的很多工作也是高度創新的。戰後，通過他當時的助手（後來的教授）傑克-古德發表的工作，人們認識到了這一點，而沒有提到它在戰時的用途。

戰後圖靈對計算機仍然興趣盎然，當時他在NPL（國家物理實驗室）從事儲存程式計算機（ACE或自動計算引擎）的開發工作。1948年，他搬到了曼徹斯特，當年第一臺儲存程式數字計算機就是在那裡執行的。

　　儘管圖靈與真正的計算機之間的聯絡極其微弱，但他對計算理論，特別是人工智慧（圖靈測試）、計算機結構（ACE）和軟體工程做出了重大貢獻。計算科學領域著名的圖靈獎就是以他的名字命名的，這在一定程度上說明了他的貢獻。

在機器智慧性的圖靈測試中，觀察者必須通過提出一系列的問題來區分機器和人類。

終止問題

　　一般來說，一旦計算機開始計算，就沒有辦法知道該計算是否會得出明確的答案。這個問題被稱為 “圖靈機的終止問題”，並在1937年他對製造的機器的介紹^[2]中被首次證明。 這個證明充分彰顯了圖靈的智慧。

　　為了引出這個證明，有必要引進一些關於數列或序列的內容。如果一個集合的元素可以被列在一個單一的序列中，那麼就稱他們可列。

例如自然數的集合可以列為0、1、2、3、...，無窮無盡。要把所有的整數，即正數和負數列成一個序列，你可以寫成0、1、-1、2、-2、3、-3、...，同樣沒有問題。

分數的計算需要更多的工作。通常需要在平面中使用表格或矩陣來完成。我們只需要看正數——它可以擴充套件到負數，也就是拓展到整數。

圖3：分數表。分數可以通過表格來計算，然後沿對角線計算，以藍色顯示。

　　這裡做了很多重複的工作——首先所有的對角線元素都是相等的——所以這個演算法有點浪費資源，但好在它能完成工作。繼續下去，每個分數都會出現在二維矩陣的某個地方。要把矩陣寫成一個單一的序列，在西南到東北的對角線上上下下工作，得到。

1, 1/2, 2, 1/3, 2/2, 3, 1/4, 2/3, 3/2, 4,...

　　接下來，我們會看到一個非常著名的定理——康托爾定理。根據這個定理，實數是不能以這種方式計算的。實數的集合包括像Pi（3.14159……）這樣的無理數，它們不能被表示成一個最簡分數。

康托爾定理的證明

　　要證明康托爾定理，只需證明，我們無法計算所有的二進位制序列，換句話說，我們無法計算無限的0和1的序列。

我們可以用反證法來完成這個證明。假設我們可以計算上述序列，我們可以給每個二進位制序列貼上B₁，B₂，B₃，……無限的標籤。讓我們先來像以前一樣把每個序列的元素列在一個表格或矩陣中。

圖4：二進位制序列表。一個可能的二進位制序列列表，序列D是通過倒置對角線上的元素構建的，以藍色顯示。

　　現在定義一個二進位制序列D，如果B₁在該列中有1，則在第一列中選擇0，如果B₁在該列中有0，則選擇1。然後我們在第二列中選擇一個0，如果B₂在該列中有一個1，如果它有一個0，則選擇1，以此類推。由此產生的二進位制序列，D，不可能在列表中，因為如果它在列表中，它就必須與B序列之一相匹配，比如說B_n，對於某個n，但是我們剛剛故意確保D的第n列與B_n不同。故矛盾。

　　也就是說，無論我們如何列二進位制序列，我們總能找到一個不在列表中的序列D。

　　這個過程被稱為對角化。正如你所看到的，我們已經給出了一個簡單的規則，因此，給定一個計算二進位制數列表的規則，那麼我們就會有一個計算這個對角線二進位制數的規則，而它恰好不在列表中。

圖靈的觀點

　　最後，讓我們勾勒一下圖靈的觀點（與庫爾特-哥德爾在1931年的一個更著名的推理有關）是如何將這個論證推向一個大階段的。

　　這裡的證明不是圖靈的原始證明，但與此相關。圖靈的這篇經典論文的大部分內容都是在描述他的計算機概念，以及為什麼它是通用的。即任何可以根據有限的規則列表進行計算的東西，都可以由他的一臺機器進行計算。

　　簡而言之，圖靈機可以被認為是一個黑盒子，它對輸入的一個數進行某種計算。如果計算得出結論，或終止計算，就會返回一個輸出數字。否則，理論上機器就會永遠執行下去。圖靈機的數量是無限的，因為可以用有限的規則列表完成無限多的計算。

　　圖靈理論的結論之一是，存在一個可以模擬所有可能的圖靈機的機器。這意味著我們可以認為圖靈機是可數的，並通過一種按字母順序排列的方式，由一臺通用機列出T₁、T₂…。圖靈用它來描述圖靈版本的哥德爾定理，即終止問題——沒有程式可以告訴圖靈機是否會在給定的輸入上進行有限步後終止。

終止問題的不可解性

　　我們把使用第n臺圖靈機T_n對輸入i的結果表示為T_n(i)。假設有一個規則或程式來決定T_n(i)在所有n和i的值上是否終止。

圖5：可以用一個終止規則來製作一個輸出Tn(i)的表格，用問號來表示永不終止的計算。這個表格只是說明性的，其內容的選擇並沒有考慮到圖靈機的任何特定排序。

　　但是，通過與上面類似的對角化程式，我們可以定義一個新的圖靈機，比如說D，它對所有的輸入都會終止，並對輸入i返回以下輸出：

　　　　　　0       如果 T_i(i) 不終止；

　　　　　　T_i(i)+1   如果 T_i(i) 終止；

　　但這個機器D一定是這些機器中的一個，換句話說，它一定是某些d對應的Td。然而，我們剛剛定義它在輸入d的情況下給出了與Td不同的答案。 所以矛盾就出現了。

　　與原來的對角線論證相比，這裡的複雜性在於：

　　　　(1)所做的所有列舉本身是可計算的；

　　　　(2)任何機器Tn在進行計算時可能會或可能不會終止。

　　這些都沒有進入康托爾的原始對角線論證。這種可計算的對角化最早是由哥德爾、圖靈等人在二戰前十年所做的開創性工作中使用的，並且一直是一種重要技術。真正困難的工作在於制定可計算性的各種定義，但那是另一個故事了

什麼是生命?

圖6a:圖靈精心手繪的太陽花。

　　在他去世前的最後幾年，圖靈正在研究一些完全不同的東西，這些東西從他的學生時代起就一直在他的心裡，即生物形態的起源--形態發生學。

圖6b：一個特寫部分。

　　簡單的細胞怎麼可能知道如何成長為相對巨大的結構形式？在薛定諤1943年的演講《生命是什麼》中，引出了遺傳資訊可以儲存在分子水平上的關鍵想法，而克里克和沃森此時正忙於通過DNA的結構來揭開這個祕密。鑑於分子是由基因產生的，圖靈正在尋找一種解釋，來說明化學溶液可能產生生物的模式。

　　他的理論的第一個主要目標是嘗試解決Phyllotaxis的經典問題，即植物上的葉片排列。這個問題的特點之一是斐波那契數列1、2、3、5、8、13、21的自然出現，這在開普勒時代就已為人所知。因此，已經確定了數學可以發揮的作用. (更多關於斐波那契數列的資訊可見"生活中的斐波那契數列" 裡的條目3)

　　圖靈還提出，由於化學訊號，動物身上的標記模式遵循數學規則。儘管最近生物學家的興趣被重新喚起，這一觀點爭議仍然很大。利用他的理論，日本的研究人員在斑馬魚的圖案中觀察到了圖靈所預測的變化。