目錄

1. 前言
2. 樹狀陣列基礎
   2.1 定義
   2.2 lowbit
   2.3 部分性質
   2.4 單點加，區間加，求字首和
3. 樹狀陣列求逆序對

1.前言

關於我線段樹合併都會了還不懂樹狀陣列這回事

2.樹狀陣列基礎

2.1 樹狀陣列定義

眾所周知，世界上有個東西叫線段樹，維護的是一個區間。
它大概長這樣：

而把它移一下，就是樹狀陣列

易得
\(c_1=a_1\)
\(c_2=a_1+a_2\)
\(c_3=a_3\)
\(c_4=a_1+a_2+a_3+a_4\)
\(......\)
這樣看可能發現不了什麼規律

2.2 lowbit

定義一個函式 \(f=lowbit(x)\) ，表示 \(x\) 在二進位制表示式中最低位 \(1\)

最低位 \(1\) 在倒數第二位，所以

所以易得：
設 \(k\) 為一個二進位制數最低位 \(1\) 所在的位數，所以這個數的lowbit值即為 \(2^{k-1}\)
所以這個lowbit值可以用以下程式碼求：

int lowbit(int x)
{
    return x&(-x);
}

那麼這個lowbit有什麼用呢？
我們再把之前的樹狀陣列搬過來
\(c_1=a_1\)
\(c_2=a_1+a_2\)
\(c_3=a_3\)
\(c_4=a_1+a_2+a_3+a_4\)

即：

這就是 \(c\) 陣列的規律

2.3 部分性質

1. \(c_x\) 儲存以它為根的子樹中所有葉節點的個數
2. \(c_x\) 的子節點個數為 \(lowbit(x)-1\)
3. 除樹根外，\(c_x\) 的父節點為 \(c_{x+lowbit(x)}\)
4. 樹的深度為 \(\text{log}\)\(_2n\)

2.4 單點加，區間加，區間查詢

由於我們知道了 \(c_x\) 的子節點個數為 \(lowbit(x)-1\) 和 除樹根外，\(c_x\) 的父節點為 \(c_{x+lowbit(x)}\) 這兩個性質，所以以下的就很好理解了
單點加，區間查詢
因為樹狀陣列維護的是字首和，所以一個點改變肯定會影響到它的父節點
我們知道 \(c_x\)的父節點是 \(c_{x+lowbit(x)}\) ,所以我們每次跳 \(lowbit(x)\) ，也就是跳到 \(x\) 的父節點，然後將它的值加上要加的值就可以了
而區間查詢也很好解決，因為樹狀陣列本來就是維護字首和的，所以如果查詢 \([x,y]\) 的和，就是查詢 \([1,y]-[1,x-1]\)
程式碼：

int lowbit(int x)
{
	return x&(-x);
}
void add(int x,int k)//單點加
{
	for(;x<=n;x+=lowbit(x))
		c[x]+=k;
}
int sum(int x)//區間查詢
{
	int ans=0;
	for(;x;x-=lowbit)
		ans+=c[x];
	return ans;
}

區間加，單點查詢
區間點加加上單點查詢的話，我們的做法就不一樣了。因為如果用之前的做法，那肯定會超時
所以我們就要用到差分的思想，利用差分建樹
我們令 \(a[0]=0,b[i]=a[i]-a[i-1]\)
易得：

我們很容易發現，如果有區間值改變，差值是不變的，只有 \(b[x]\) 和 \(b[y+1]\) 改變。所以我們可以用這個來建立樹狀陣列
程式碼：

#include<bits/stdc++.h>
#define ll long long
using namespace std;
const int N=5e5+7;
int c[N],a[N];
int n,m;
int lowbit(int x)
{
	return x&(-x);
}
int sum(int x)
{
	int ans=0;
	for(;x;x-=lowbit(x))
		ans+=c[x];
	return ans;
}
void add(int x,int k)
{
	for(;x<=n;x+=lowbit(x)) c[x]+=k;
}
int main()
{
	ios::sync_with_stdio(false);
	cin.tie(0),cout.tie(0);
	cin>>n>>m;
	for(int i=1;i<=n;i++)
	{
		cin>>a[i];
	//	add(i,a[i]);
	}
	while(m--)
	{
		int op;
		cin>>op;
		if(op==1)
		{
			int x,y,k;
			cin>>x>>y>>k;
			add(x,k);
			add(y+1,-k);
		}
		else
		{
			int x;
			cin>>x;
			cout<<sum(x)+a[x]<<endl;
		}	
	}
	return 0;
}

3.樹狀陣列求逆序對

咕了，過段時間再更