1、演算法概述

用於生成連通無向圖的最小代價生成樹。 2、演算法步驟 步驟一：T是邊的集合，其初始狀態為空； 步驟二：從原圖剩餘邊中選取一條最小代價的邊； 步驟三：看其是否與當前T中其它邊構成環路； 步驟四：如果未構成環路，則加入T中；否則，丟棄該邊； 步驟五：是否還有剩餘邊，如果有則返回步驟二，否則，程式結束。 3、演算法證明 要證明Kruskal演算法生成的是最小生成樹，我們分兩步來證明： （1）Kruskal演算法一定能得到一個生成樹； （2）該生成樹具有最小代價。 證明如下： （1）假設該演算法得到的不是生成樹，根據樹的定義，就有兩種情形，第一是得到的圖是有環的，第二就是得到的圖是不連通的。由於演算法要求每次加入邊都是無環的，所以第一種情形不存在，下面就只需證明第二種情形不存在即可。 假設得到的圖是不連通的，則至少包含兩個獨立的的邊集，假設其中一個為E，則E中邊對應的所有點都無法到達其它邊集對應的點（否則，根據演算法定義，相應的聯絡邊應被加入樹中），而這與原圖是連通的產生矛盾，因此，第二種情形也不可能存在。得證。 （2）假設圖有n個頂點，則生成樹一定具有n-1條邊.由於圖的生成樹個數是有限的，所以至少有一棵樹具有最小代價，假設該樹為U。先做出如下假設： 1)得到的樹為T。 2)U和T中不同的邊的條數為k,其它n-1-k條邊相同，這n-1-k條邊構成邊集E。； 3)在T中而不在U中的邊按代價從小到大依次為a1，a2，...，ak。 4)在U中而不在T中的邊按代價從小到大依次為x1，x2，...，xk。 現在我們通過把U轉換為T（把T的邊依次移入U中），來證明U和T具有相同代價。 首先，我們將a1移入U中，由於U本身是一棵樹，此時任意加一條邊都構成迴路，所以a1的加入必然產生一條迴路，且這條迴路必然包括x1，x2，...，xk中的邊。（否則a1與E中的邊構成迴路，而E也在T中，這與T中無迴路矛盾。） 在這個迴路中刪除屬於x1，x2，...，xk且代價最大邊xi構成一個新的生成樹V。 假設a1代價小於xi，則V的代價小於U，這與U是最小代價樹矛盾，所以a1不可能小於xi。 假設a1大於xi，按照Kruskal演算法，首先考慮代價小的邊，則執行Kruskal演算法時，xi應該是在a1之前考慮，而a1又在a2，...，ak之前考慮，所以考慮xi之前，T中的邊只能是E中的邊，而xi既然沒加入樹T，就說明xi必然與E中的某些邊構成迴路，但xi和E又同時在U中，這與U是生成樹矛盾，所以a1也不可能大於xi。 因此，新得到的樹V與T具有相同代價。 依次類推，把a1，a2，...，ak的邊逐漸加到U中，最終得到的樹（T)與U代價相同。 證明結束。   轉載自http://blog.sina.com.cn/s/blog_70ec9a6f01012c0y.html