一棵大小為 \(n\) 的有標號無根樹對應一個長度為 \(n-2\) 值域為 \([1,n]\) 的 Prufer 序列。

故有 Cayley 公式：\(n\) 個點的完全無向圖的生成樹有 \(n^{n-2}\) 種。

然後是轉換：

樹到序列

1. 找到當前樹中編號最小的葉子節點，將其父親節點編號加入序列，並刪除該節點。
2. 如果父親節點度數變為 \(1\)，將父親節點當作葉子節點加入待刪佇列。
3. 重複 1 2 操作直到原樹只剩下兩個點。

注意到最後 \(n\) 節點一定會保留下來，所以對於無根樹的父親節點可以以 \(n\) 為根做一遍 dfs 得到。

於是顯然可以 \(O(n\log n)\) 做。

線性做法是利用了每次刪節點最多隻會新增一個葉子節點的性質，維護一個指標指向下一個要刪的葉子節點。
每次刪掉節點後看父親節點是否變成葉子節點，如果父親變成了編號小於指標的葉子，那麼直接把父親當作下一個葉子，但指標不動；否則就讓指標自增到下一個葉子。

這樣指標只會掃一遍，所有邊只會遍歷一遍，所以是 \(O(n)\)。

序列到樹

根據樹到序列的構造，我們發現每個度數為 \(d\) 的節點都在 Prufer 序列中出現了 \(d-1\) 次。

同樣的，我們可以利用這個性質實現序列到樹。

1. 找到序列中沒有出現過的點（葉子節點）中編號最小的，序列第 \(i\) 項即為其父親，然後刪除該葉子節點。
2. 如果父親節點度數變為 \(1\)
   ，將父親節點當作葉子節點加入待刪佇列。
3. 每次 \(i\) 增加並重復 1 2 操作直到序列結束，此時待刪序列中有兩個點，將編號小的父親令為 \(n\)（也就是另一個編號大的）。

同樣有顯然的 \(O(n\log n)\) 做法。

線性做法是一樣。

Prufer 序列通常與有度數限制的計樹有關，會用到組合數學。

P6086 【模板】Prufer 序列

[HNOI2004]樹的計數

[HNOI2008]明明的煩惱

CF156D Clues