計算機基礎之進位制轉換

一、什麼叫進位制（system）

學習進位制轉換之前，我們要先知道什麼是進位制，進位制也就是進位計數制，對於任何一種進位制——n進位制，就表示每一位置上的數運算時都是逢n進一位， 十進位制是逢十進一，二進位制是逢二進一等，以此類推，n進位制就是逢n進一位， n進位制的數可以用0~(n-1) 的數表示。

二、常見的進位制

• 十進位制
  逢十進一，用0~9組成。

• 二進位制
  逢二進一，由 0~1組成。

• 八進位制
  逢八進一，由 0~7組成。

• 十六進位制
  十六進位制是由 0-9，A-F組成，與十進位制對應起來的話就是：0-9 對應 0-9，A-F對應10-15，字母不區分大小寫。

三、進位制轉換本質

[ 進位制轉換是人們利用符號來計數的方法。進位制轉換由一組數碼符號和兩個基本因素“基數”與“位權”構成。基數是指，進位計數制中所採用的數碼（數制中用來表示“量”的符號）的個數。位權是指，進位制中每一固定位置對應的單位值。]
這一大段官方解釋可能大家看的雲裡霧裡，舉個例子：十進位制數，他的進位制基數就是十，或者你可以這樣記，進位制基數等於第一位數的位權值，十進位制數第零位數的位權值為10的0次方（個位），第一位數的位權值為10的1次方（十位），第三位數的位權值為10的2次方（百位），以此類推。

1024=1×1000+0×100+2×10+4×1

四、進位制的轉換公式

1.二進位制轉換十進位制

二進位制數第0位的權值是2的0次方，第1位的權值是2的1次方……
設有一個二進位制數：1000001001，轉換為10進製為：
豎式：
從右往左開始換算
第0位 1×2的0次方 = 1
第1位 0×2的1次方 = 0
第2位 0×2的2次方 = 0
第3位 1×2的3次方 = 8
第4位 0×2的4次方 = 0
第5位 0×2的5次方 = 0
第6位 0×2的6次方 = 0
第7位 0×2的7次方 = 0
第8位 0×2的8次方 = 0
第9位 1×2的9次方 = 512

除0以外的數字0次方都是1，但0乘以多少都是0，所以我們可以直接跳過值為0的位：
1×2的0次方 + 1×2的3次方 + 1×2的9次方 = 512

2.八進位制轉換十進位制

八進位制數 逢八進一，採用 0～7這八數來表達一個數。
八進位制數第0位的權值為8的0次方，第1位權值為8的1次方，第2位權值為8的2次方……
設有一個八進位制數：1111，轉換為10進製為：
豎式：
第0位 1×8的0次方 =1
第1位 1×8的1次方 = 8
第2位 1×8的2次方 = 64
第3位 1×8的3次方 = 512

得數：565

3.十六進位制轉換十進位制

十六進位制逢十六進一，0-9對應0-9，A-F對應10-15，字母不區分大小寫。
十六進位制數的第0位的權值為16的0次方，第1位的權值為16的1次方，第2位的權值為16的2次方……
在第N (N從0開始) 位上，如果是數 x (x大於等於0，且x小於等於15，即：F)表示的大小為 x × 16 的N次方。
設有一個八進位制數： 2AF5, 轉換為10進製為：
豎式：
第0位： 5 × 16的0次方 = 5
第1位： F × 16的0次方 = 240
第2位： A × 16的0次方 = 2560
第3位： 2 × 16的0次方 = 8192

得數： 10997

4.十進位制轉換其他進位制

以此類推十進位制轉換其他進位制

5.八進位制與二進位制的轉換

二進位制到八進位制

以11 001為例：
整數部分：從後往前每三位一組，缺位處用0填補，然後按十進位制方法進行轉化， 則：
001=1
011=3
然後我們將結果按從下往上的順序書寫就是：31，那麼這個31就是二進位制11001的八進位制形式

八進位制到二進位制

以31為例：
整數部分：從後往前每一位按十進位制轉化方式轉化為三位二進位制數，缺位處用0補充 則：
1---->001
3---->011
然後我們將結果按從下往上的順序書寫就是：11001，那麼這個11001就是八進位制31的二進位制形式

6.十六進位制與二進位制的轉換

我們先看一張表

由於1111才4位，所以我們直接記住它每一位的權值，並且是從高位往低位記：8、4、2、1。
記住8421，對於任意一個4位的二進位制數，我們都可以很快算出它對應的10進位制值。

二進位制整數轉換為十六進位制整數時，每四位二進位制數字轉換為一位十六進位制數字，運算的順序是從低位向高位依次進行，高位不足四位用零補齊，參考上表，我們很快就能得出答案。

十六進位制整數轉換為二進位制整數時，思路是相反的，每一位十六進位制數字轉換為四位二進位制數字，運算的順序也是從低位向高位依次進行，舉個例子：看到F之後，我們需知道它是15，然後15如何用8421拼湊呢，應該是8 + 4 + 2 + 1，所以為11111。

結尾

本文只記錄了基本進位制之間的相互轉換，由於在C語言程式設計中二進位制、八進位制、十六進位制之間幾乎不會涉及小數的轉換，所以這裡只講整數的轉換，並且八進位制和十六進位制之間極少直接轉換，這裡也不再講解，如果想了解更多，可以自己搜尋一些材料，另外，轉換方法是通用的，任何進位制之間的轉換都可以採用。