模擬退火（搜尋的一種）

演算法思想：通過隨機化的搜尋不斷的去迫近真實的答案。

溫度(步長，就是下一次跳到的位置是遠) 初始溫度 終止溫度 衰減係數

​ $T_0$ $T_E$ $T=T\times 0.999$

​ $資料範圍的三倍$ $10^{-5}$

隨機選擇一個點 比較$dE= f(now)-f(pre)$,$f為估值函式$，以求最小值為例

1. 當$dE<0$，說明新點更優直接跳到新點
2. 當$dE>0$, 說明新點不更優秀則以一定概率跳過去，概率為$e^{-\frac{dE}{T}}$。結合函式影象可以發現當$dE$越大跳的概率越小，T越大跳的概率越大，所以隨著溫度的降低，逐漸會跳到最優解而不是區域性最優解。

的

虛擬碼

simulate_anneal(){

​ 隨機一個初始點

​ for (T = 1000; T > 1e-4; T = T$\times$0.99) {

​ 在當前點周圍隨機一個點

		 算$dE$

​ if() 跳到新點

}

}

核心程式碼

double calc() {
	計算對應的f的值
}
double rand(int l, int r) {
	return (double)rand()/RAND_MAX*(r-l)+1; //隨機生成一個[l,r]的數 
}
void simulate_anneal() {
	初始化一個[l,r]之間點  a = rand(l,r)
        for (double t = 100000; t > eps; t *= 0.999) {
			生成一個新點 b = rand(l,r)
                double dt = calc(b) - calc(a);
            if (exp(-dt/t) > rand(0,1)) a = b; // exp() 等價於 e的多少次冪
        }
}
 

例題

Country Meow

[Link](Attachments - 2018-2019 ACM-ICPC, Asia Nanjing Regional Contest - Codeforces)

題意

給你三維平面的一些點，讓你找到一個位置到這些點裡最遠的點最近。

題解

一次模擬退火中溫度需要覆蓋資料範圍的三倍，我們用溫度(步長)來不斷的隨機下去，設定一個終止溫度，以及每次的衰減係數，每一次隨機一個新的點dt = f(now) - f(pre), 以求更進的距離為例如果(dt < 0) 直接跳到新點，否則有一定概率跳到，一般的概率函式選擇$p=e^{\frac {-dt}{t}}$。使得不斷迫近最優解，

模擬退火有一個初始溫度，溫度越高，接受較差的解的可能性就越大。每次走完後，都會降低溫度，使得接受較差解的可能性變小。在走的過程中，更新最優解的值。

Code

#include <iostream>
#include <algorithm>
#include <cstring>
#include <cstdio>
#include <set>
#include <queue>
#include <vector>
#include <map>
#include <bitset>
#include <unordered_map>
#include <cmath> 
#include <stack>
#include <iomanip>
#include <ctime>
#include <deque> 
#include <sstream>
#define x first
#define y second
#define debug(x) cout<<#x<<":"<<x<<endl;
using namespace std;
typedef long double ld;
typedef long long LL;
typedef pair<int, int> PII;
typedef pair<double, double> PDD;
typedef unsigned long long ULL;
const int N = 1e5 + 10, M = 2 * N, INF = 0x3f3f3f3f, mod = 1e9 + 7;
const double eps = 1e-5, pi = acos(-1), inf = 1e20;
#define tpyeinput int
inline char nc() {static char buf[1000000],*p1=buf,*p2=buf;return p1==p2&&(p2=(p1=buf)+fread(buf,1,1000000,stdin),p1==p2)?EOF:*p1++;}
inline void read(tpyeinput &sum) {char ch=nc();sum=0;while(!(ch>='0'&&ch<='9')) ch=nc();while(ch>='0'&&ch<='9') sum=(sum<<3)+(sum<<1)+(ch-48),ch=nc();}
int dx[] = {-1, 0, 1, 0}, dy[] = {0, 1, 0, -1};
int h[N], e[M], ne[M], w[M], idx;
void add(int a, int b, int v = 0) {
    e[idx] = b, w[idx] = v, ne[idx] = h[a], h[a] = idx ++;
}
int n, m, k;
struct Point {
    double x, y, z;
    Point () {}
    Point (double _x, double _y, double _z) {
        x = _x, y = _y, z = _z;
    }
}p[N];
double res = 1e18;
double dist(Point a, Point b) {
    double dx = a.x - b.x, dy = a.y - b.y, dz = a.z - b.z;
    return sqrt(dx * dx + dy * dy + dz * dz);
}
double rand(double l, double r) {
    return (double)rand() / RAND_MAX * (r - l) + l;
}
double calc(Point a) {
    double mxd = 0;
    for (int i = 0; i < n; i ++ ) mxd = max(mxd, dist(a, p[i]));
    res = min(res, mxd);
    return mxd;
}
void simulate_anneal() {
    Point a, b;
    a = {rand(-100000,100000), rand(-100000, 100000), rand(-100000, 100000)};
    for (double t = 100000; t > eps; t *= 0.999) {
        b = {rand(a.x - t, a.x + t), rand(a.y - t, a.y + t), rand(a.z - t, a.z + t)};
        double dt = calc(b) - calc(a);
        if (exp(-dt / t) > rand(0, 1)) a = b;
    }
}
int main() {
         cin >> n;
        for (int i = 0; i < n; i ++ ) cin >> p[i].x >> p[i].y >> p[i].z;
        for (int i = 0; i < 50; i ++ ) simulate_anneal();
        printf("%.10lf\n", res);
    return 0;
}