5個lxl題已經公佈，笑死。

Day2

A. 燃燒的吶球

複雜問題貌似 boruvka 嚴格比剩下倆厲害，因為所屬關係每輪固定！

考慮 boruvka，相當於每次對於每個顏色，要找異色最小邊。

如果 \(x, y\) 中至少有一個不呈祖先關係是平凡的，可以列舉另一邊，在樹上 dfs 做到 \(O(n)\)，這樣有可能數到祖先關係但預設成加法了，但沒關係，因為 - 更小，會在數祖先關係的時候更新掉。

只需處理兩個都呈祖先關係情況：

• 當前兩個都是祖先，線段樹（單點修改，區間查詢）合併，\(O(m \log n)\)
• 當前一個祖先，一個兒子，按祖先維線段樹（區間 \(\text{chkMin}\)
  ，單點查詢）合併，\(O(m \log n)\)
• 兩個都是兒子，一個較劣但能接受的方法是，樹剖把祖先拆成 log 個鏈的字首，再使用區間 \(\text{chkMin}\)，單點查詢的線段樹，這樣是 \(O(m \log ^2 n)\)，足矣通過。（應該能做到更優但較為複雜，例如可以先化為矩形 chkmin ，單點查詢形式，然後一開始預處理那個（x 拆成 log 個區間）線段樹結構，每個線段樹（y 離散化後）位置按權值排序，然後每輪進去用線性並查集算出每個位置最優點值，還要定位離散化節點，把查詢離線雙指標，這樣就 \(O(m \log n)\) 一次，太複雜，好像不可實現。。）

總複雜度 \(O(m \log ^3 n)\)

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B. 襪子

沒利用到隨機性質，哈哈。

首先詢問半平面點個數是可做的，一種做法 是分塊後極角排序雙指標，詢問二分。

考慮這個題，考慮設定一個閾值 \(B\)，顏色出現次數 \(>B\) 的之間套上面那個做法，小的考慮，每次把顏色相同的放到一組裡，只需要動態維護一下這個順序下，每個點有多少顏色相同的在它前面，並且快速求字首和，這個可以樹狀陣列，並且和排序同瓶頸。

既然出現次數都 \(\le B\) 了，那麼我們分組可以把每塊固定在 \([B, 2B - 1)\) 範圍內，這樣每組都是 \(O(B)\) 的了。

總複雜度 \(O(B^2\frac{n}{B} \log { B^2} + q \frac{n}{B} \log {B^2})\)

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