一、割點和割邊

• 割點：在無向連通圖中，刪除一個頂點以及和它相鄰的所有邊，圖中的連通分量個數增加，則該頂點稱為割點

• 割邊（橋）：在無向連通圖中，刪除一條邊，圖中的連通分量個數增加，則該條邊稱為割邊或者橋

舉個栗子：

割點：

割邊：

二、邊連通分量和點連通分量

• 邊雙連通圖：如果在無向圖中不存在割邊，則稱它為邊雙連通圖。在邊雙連通圖中，任意兩個節點之間都存在兩條及以上的路徑，並且這些路徑上的邊互不重複。

• 點雙連通圖：如果在無向圖中不存在割點，則稱它為點雙連通圖。在點雙連通圖中，如果節點數大於\(2\)，則在任意兩個節點之間都存在兩條及以上路徑，並且這些路徑上的點互不重複。

• 邊雙連通分量：無向圖的極大邊雙連通子圖

  被稱為邊雙連通分量，記作\(e-DCC\)。邊雙連通分量就是刪掉橋(割邊)之後所留下的連通塊，連線兩個邊雙連通分量的邊就是橋

• 點雙連通分量：無向圖的極大點雙連通子圖被稱為點雙連通分量，記作\(v-DCC\)

點雙連通分量的性質：

• 點雙連通分量之間以割點連線，且兩個點雙連通分量之間有且只有一個割點
• 每一個割點可以任意屬於多個點雙連通分量，因此求點雙連通分量時，可能包含重複的點
• 只有一條邊連通的兩個點也是點雙連通分量

一張圖無向連通圖是“點雙連通圖”，當且僅當滿足以下兩個條件之一：

• 圖的頂點個數不超過\(2\)
• 圖中任意兩點都同時包含至少一個簡單環，其中“簡單環”是指不自交的環，也就是我們通常畫出的環。
• 一張無向連通圖是“邊雙連通圖”，當且僅當任意一條邊都包含在至少一個簡單環中。

總結：

對於一個連通圖，如果任意兩點之間至少存在兩條沒有重複節點的路徑，則稱這個圖為點雙連通的（簡稱雙連通）；如果任意兩點之間至少存在兩條沒有重複邊的路徑，則稱該圖為邊雙連通的。點雙連通圖的定義等價於任意兩條邊都同在一個簡單環中，而邊雙連通圖的定義等價於任意一條邊至少在一個簡單環中。對一個無向圖，點雙連通的極大子圖稱為點雙連通分量（簡稱雙連通分量），邊雙連通的極大子圖稱為邊雙連通分量。在每一個點雙連通圖中，內部無割點；在每一個邊雙連通圖中，內部無橋。

舉個栗子：

邊雙連通圖：

邊雙連通分量：

點雙連通圖：

點雙連通分量：

三、求解割點和割邊

四、成對變換