3.1.1 二維隨機變數及其分佈函式

二維隨機變數定義

聯合分佈函式

x，y的聯合分佈函式

對比

一維

曲線是概率密度函式

負無窮到x 上 的面積是分佈函式的函式值

二維

定義域

曲面是概率密度函式

x，y圍成面積 上 的體積是分佈函式的函式值

性質

邊緣分佈函式

x的邊緣分佈

y隨便取（取y的所有值）

示例：一個垂直於x軸的平面從負無窮逐漸向外移動，移動過程中切到的體積越來越大

y的邊緣分佈

x隨便取（取x的所有值）

3.1.2 二維 離散型 的聯合分佈和邊緣分佈

聯合分佈函式

聯合分佈表

聯合分佈表的性質

求聯合分佈函式

​

邊緣分佈函式

對行求和，得到x的邊緣分佈

對列求和，得到y的邊緣分佈

x，y獨立時可由邊緣分佈確定聯合分佈

3.1.3 二維 連續性 的聯合分佈和邊緣分佈

聯合分佈函式

聯合密度（一個曲面）

性質

例題

1.求c

上面是實線，下面是虛線

均勻分佈（二維）

G是有界區域

2.(常規題型)

（1）

中間步驟

（2）

計算過程：

（3）

x>0

邊緣分佈函式

聯合密度函式

\(f(x,y)\)

邊緣密度函式

幾何含義（以x的邊緣密度函式\(f_x(x)\)為例）

x = x₀ 平面與聯合密度函式\(f(x,y)\)相交所得曲線對y積分

（ 即整個體積中的一個垂直於x軸的面片，過點 (x₀

補充知識點：

變上限積分

1.上限求導

2.上限帶入

例題

聯合密度函式影象

邊緣密度函式影象

（以\(f_x(x)\)為例）

常見二維分佈

二維均勻分佈

G是有界區域

二維正太分佈

3.2.1-3.2.3 條件分佈（學校不考）

3.2.4 隨機變數的獨立性

判斷條件

則x，y獨立

（優先用第一個判斷）

二維離散型的獨立性

判斷公式

eg

不獨立（只要有一個不等則不獨立）

0.4*0.4 != 0.2

獨立（每個都要相等）

二維連續型的獨立性

判斷公式

eg

變數獨立，構造的函式也獨立

eg

3.3.1 二維離散型隨機變數函式的分佈

注意：重複的要合併

eg

兩個0-1分佈相加是二項分佈

​

兩個泊松分佈相加是泊松分佈

3.3.2二維連續型隨機變數函式的分佈

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1.先求分佈函式

2.對分佈函式求導，得密度函式

eg

中間步驟（二重積分：極座標）

1. Z = X + Y

（注1：二重積分的積分割槽域是長方形時，交換積分次序上下限不變，其他情況要變限）

（注2：Y型更方便求導）

求導得：

卷積公式

卷積公式使用條件

1. Z = X + Y
2. X,Y獨立

例題

X,Y是標準正太分佈

兩個正太分佈相加是正太分佈（有公式）

2. M = max{X,Y} & N = min{X,Y}

X,Y獨立

eg