Min_25 Sieve 學習筆記

阿新 • • 發佈：2022-04-04

這個東西不是人想的。

解決問題：積性函式字首和。

適用條件：可以快速計算 $f(p)$ 的字首和，$f(p^k)$ 可以被表示成若干完全積性函式的線性組合（指對應項可以快速組合出來）。

時空複雜度：就當是 $O(\dfrac{n^\frac{3}{4}}{\log n}+n^{1-\epsilon})-O(\sqrt n)$。

以下預設 $f(p)$ 為關於 $p$ 的單項式，$p_i$ 為第 $i$ 個質數。

我們需要對於每個能被表示成 $\lfloor \dfrac{n}{x}\rfloor $ 的數，求所有在其前的質數 $p$ 的 $\sum f(p)$

。注意到一個數的最小質因子小等於 $\sqrt n$，我們設計一個 dp：$g_{i,j}$ 表示最小質因子大於 $p_i$，$[1,j]$ 的所有數的 $f$ 之和。轉移時把最小質因子為的 $p_i$ 數的 $f$ 全部刪去，即得轉移，注意容斥掉前面的質數的貢獻：

\[g_{i,j} = g_{i-1,j} - f(p_i)\big{(}g_{i-1,j/p_i} - \sum_{k\le i}f(p_k)\big{)} \]

這就體現出完全積性的重要性。求和號部分可以線上篩質數的時候預處理出來。第一維顯然可以滾動陣列優化掉，而對於第二維，$\lfloor \dfrac{n}{x}\rfloor $ 只有 $O(\sqrt n)$

個，預處理出來，大於 $\sqrt n$ 的編號為 $n/\sqrt n$ 即可。

我們把篩去所有最小質因子後的得到的 dp 陣列記為 $g$。

設 $s_{n,i}$ 表示 $[1,n]$ 最小質因子大於 $p_i$ 的所有數的 $f$ 之和。列舉最小質因子及其次數，得到轉移

\[s_{n,i} = g_n - \sum_{j\le i}f(p_j) + \sum\limits_{p_k^t \le n} f(p_k^t)\bigg{(}s_{n/p_k^t},k+1)+[t\gt 1]\bigg{)} \]

根據神奇的複雜度分析，可以直接遞迴下去做。

最後加上 $1$ 的貢獻。