服了，揹包問題我真的是學了就忘學了就忘學了就忘……

寫個部落格總結一下，加深加深印象（供以後忘了的時候參考）。

問題描述：

有N件物品和一個容量為V的揹包。第i件物品的體積是w[i]，價值是v[i]。求解將哪些物品裝入揹包可使價值總和最大。

問題特點：

每種物品只有一件，有兩個狀態，選擇放或者不放。

狀態轉移方程：

dp[i][j]=max(dp[i-1][j],dp[i-1][j-w[i]]+v[i])。

dp[i][j]表示裝到第i個物品時揹包的最大價值，dp[i-1][j]可以理解為我們不裝i物品，此時揹包中的最大價值就是裝到第i-1個物品時揹包的最大價值；dp[i-1][j-w[i]]+v[i]可以理解為我們裝了i物品

 二維陣列：

for(int i=1;i<=N;i++)
{
    for(int j=0;j<=V;j++)
    {
        if(j<w[i])//第i件物品太重，放不進去
            dp[i][j]=dp[i-1][j];
        else
            dp[i][j]=max(dp[i-1][j],dp[i-1][j-w[i]]+v[i]);
    }
}

對於上面的狀態轉移方程我們無法再進行時間優化，但可以進行空間優化。

可以發現這樣的問題：

①二維陣列的遍歷順序為從第一行開始一行一行遍歷，且遍歷到第i行時不會用到第i-2行的資料，那麼i-2行及以前的資料都i沒有用了，我們可以將其清除。

②遍歷每一行時候只用到當前容量j和j-w[i]的資料，也就是第 i 次遍歷只需要 第 i-1 次遍歷中容量小於等於 j 的資料。

所以我們可以將利用滾動陣列優化空間。

一維陣列：

for(int i=1;i<=N;i++)
{
    for(int j=V;j>=0;j++)
    {
        if(j<w[i])//第i件物品太重，放不進去
            dp[j]=dp[j];
        
 
else
            dp[j]=max(dp[j],dp[j-w[i]]+v[i]);
    }
}

j從揹包容量為V開始遍歷，這樣可以保證dp[i][j]和dp[i][j-w[i]]中儲存的都是第i-1行的資料。

有個問題：j<w[i]時，dp[i]=dp[i]是無用的，所以此時可以什麼都不做，只需要遍歷到j>=w[i]。即：

for(int i=1;i<=N;i++)
{
    for(int j=V;j>=0;j++)
        dp[j]=max(dp[j],dp[j-w[i]]+v[i]);
}