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題目

給定一個長為 \(n\) 的正整數序列 \(a_1,⋯,a_n\) 。

你可以進行若干次操作，每次操作你可以選擇一個位置 \(i∈[2,n−1]\) 使得 \(a_i= \frac{a_{i−1}+a_{i+1} }{2}\)，隨後將 \(a_i\) 刪去，之後的數按順序向前補空位。

求若干次操作後序列長度最小可以是多少。

題解

現在我已經可以想到差分了，把陣列差分後，問題轉化為每次合併兩個相鄰相同的數為它們之和，那就有一些性質：每次合併後這個數相當於變成原來的兩倍，所以一個數只會和它的\(2\)的冪次倍合併，一個數被合併的次數為\(log\) 次。

我沒做出來的原因是因為忘記了一個“決策”的概念，而一味的在想如何線段樹dp，線段樹dp的問題在於，我只記錄上一個塊的大小， 但是這個塊和上一個合併之後還能繼續往前合併， 這個東西不好記錄也不好轉移，導致我的思路完全錯了。

實際上呢，最終合併出來的序列，每個塊都是由一段連續的塊合併出來的，我們把要合併出這個塊，看作那一段塊中最後一個的決策，這樣就可以進行轉移了，同時一個塊至多合併\(log\)次， 所以只有\(log\)種不同的決策，複雜度也是正確的。

具體來講我們設\(f_i\)表示前 \(i\) 個數合併出的最小塊數， 轉移次列舉第\(i\)個塊被合併了多少次即可。

然後這裡還要一個很妙的dp， 記 \(g_{i, j}\) 表示第\(i\)個塊往左合併\(j\)次需要的左端點， 轉移一下即可。

學到了