題目描述

恰逢 H 國國慶，國王邀請 \(n\) 位大臣來玩一個有獎遊戲。

首先，他讓每個大臣在左、右手上面分別寫下一個整數，國王自己也在左、右手上各寫一個整數。

然後，讓這 \(n\) 位大臣排成一排，國王站在隊伍的最前面。

排好隊後，所有的大臣都會獲得國王獎賞的若干金幣，每位大臣獲得的金幣數分別是:

排在該大臣前面的所有人的左手上的數的乘積除以他自己右手上的數，然後向下取整得到的結果。

國王不希望某一個大臣獲得特別多的獎賞，所以他想請你幫他重新安排一下隊伍的順序，使得獲得獎賞最多的大臣，所獲獎賞儘可能的少。

注意，國王的位置始終在隊伍的最前面。

輸入格式

第一行包含一個整數 \(n\)，表示大臣的人數。

第二行包含兩個整數 \(a\) 和 \(b\)，之間用一個空格隔開，分別表示國王左手和右手上的整數。

接下來 \(n\) 行，每行包含兩個整數 \(a\) 和 \(b\)，之間用一個空格隔開，分別表示每個大臣左手和右手上的整數。

輸出格式

輸出只有一行，包含一個整數，表示重新排列後的隊伍中獲獎賞最多的大臣所獲得的金幣數。

資料範圍

\(1≤n≤1000\)
\(0<a,b<10000\)

輸入樣例：

3
1 1
2 3
7 4
4 6

輸出樣例：

2

演算法描述

不失一般性地選出其中兩個相鄰大臣\(i,i+1\)，他兩獲得的獎賞分別是

性質1：如果兩相鄰點滿足\(a_i \times b_i \ge a_{i+1} \times b_{i+1}\)

證明：

1.交換後i處獎賞值比交換前的i+1處獎賞值少了個\(a_i\)

2.由預設\(a_i \times b_i \ge a_{i+1} \times b_{i+1}\)，即\(\frac{a_i}{b_{i+1}} \ge \frac{a_{i+1}}{b_i}\)，所以\(交換後i+1處獎賞值 \le 交換前的i+1處獎賞值\)

3.所以$(max(j+1) = 交換後i處獎賞值 或 交換後i+1處獎賞值)\le 交換前i+1處獎賞值 \le max(j) $

得證

性質2：滿足\(a_i \times b_i \le a_{i+1} \times b_{i+1}\)性質的方案就是最優方案

證明：

假設存在一最優方案滿足\(a_i \times b_i \ge a_{i+1} \times b_{i+1}\)，那麼必然可對其內部任意相鄰節點進行調整，使其最終滿足這個\(a_i \times b_i \le a_{i+1} \times b_{i+1}\)性質，且調整後方案的最大獎賞值不會變大。即任意最優方案都可以轉化為滿足這個性質的方案，所以滿足這個性質的方案就是最優方案之一

總結：按照\(a_i * b_i\)進行從小到大排序，即為最優排列

程式碼實現

#include<iostream>
#include<algorithm>
#include<vector>

using namespace std;

typedef pair<int, int> PII;
typedef unsigned long long ULL;

const int N = 1010;
PII s[N];
int n;
vector<int> multi(vector<int> a, int b){
    int car = 0;
    vector<int> c;
    for(int i = 0; i < a.size() || car; i++){
        if(i < a.size()) car += a[i] * b;
        c.push_back(car % 10);
        car /= 10;
    }
    return c;
}

vector<int> div(vector<int> a, int b){
    reverse(a.begin(), a.end());
    int car = 0;
    vector<int> c;
    for(int i = 0; i < a.size(); i++){
        car = car * 10 + a[i];
        c.push_back(car / b);
        car %= b;
    }
    reverse(c.begin(), c.end());
    while(c.size() > 1 && c.back() == 0) c.pop_back();
    return c;
}

vector<int> max(vector<int> a, vector<int> b){
    if(a.size() != b.size()) return (a.size() > b.size() ? a:b);
    for(int i = a.size() - 1; i >= 0; i--)
        if(a[i] != b[i])
            return (a[i] > b[i] ? a : b);
    return a;
}

int main(){
    int a, b;
    cin >> n >> a >> b;
    vector<int> pre;
    while(a) pre.push_back(a % 10), a/=10;
    for(int x = 0; x < n; x++){
        cin >> a >> b;
        s[x] = {a * b, b};
    }
    sort(s, s+n);
    vector<int> ans;
    for(int x = 0; x < n; x++){
        b = s[x].second, a = s[x].first / b;
        ans = max(ans, div(pre, b));
        pre = multi(pre, a);
    }
    for(int i = ans.size() - 1; i >= 0; i--) cout << ans[i];
}