1.12 Matrix Spaces and Rank 1 Matrices 閱讀筆記
“向量”空間和秩一矩陣
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Reference
- Course website: Matrix Spaces; Rank 1; Small World Graphs | Unit I: Ax = b and the Four Subspaces | Linear Algebra | Mathematics | MIT OpenCourseWare
- Course video: 【完整版-麻省理工-線性代數】全34講 配套教材_嗶哩嗶哩_bilibili
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Course summary: Lecture 11: Matrix spaces; rank 1; small world graphs (mit.edu)
- Extra reading: 線性代數與解析幾何（第二版）5.1.7節，魏戰線 李繼成 編
快考試了，感覺像複習課，在介紹矩陣空間的基礎上大量複習四個基本子空間的基，維度，建議對四個基本子空間的求法爛熟於心。這一節主要舉例向量空間裡面的向量可能很奇怪，又講了秩一矩陣的性質，最後講的圖的入門打算放到下一節。
New Vector Space
All 3 × 3 Matrices
假設有 \(3\times 3\) 的任意矩陣集 \(M\)，對稱矩陣集 \(S\)，上三角矩陣集 \({U}\)，和對角矩陣集 \(D\)。
顯然按照 1.11，這些矩陣各個都能組成 vector space，是新型的“向量空間”。
各種矩陣的基和維度的抽象派計算如下所示：
1.11 提到了 \(S \cap U=D\)，是子空間。那麼 \(S \cup U\) 是子空間嗎，不是，就像是在一個過原點平面插了幾條過原點的線一樣，任取兩個元素相加運算不封閉了。
Sum of Subspaces
於是提到了一個新的概念叫做子空間的和 (Sum)，任取子空間 \(V_1\)，\(V_2\)：
\[V_1+V_2=\{\boldsymbol{\alpha}+\boldsymbol{\beta}\mid\boldsymbol{\alpha}\in V_1,\boldsymbol{\beta}\in V_2\} \]仍為子空間。（滿足子空間的八條定律）
這個例子裡，\(S + U = M\)
從中可以發現一個維度公式：（Lecture Summary 有問題）
\[\dim (S)+\dim (U)=\dim (S\cap U)+\dim (S+U) \]Differential Equations
\[\frac{\mathrm{d}^2y }{\mathrm{d} x^2}+y=0 \]的全解為 \(y=c_1\cos x+c_2\sin x\)，因此解空間/零空間為 \(\text{span}\{\cos x,\sin x\}\)，維度為2。
看起來更不像向量。
All Rank 4 Matrices
所有的秩4矩陣不構成子空間。把4階單位陣的每一行提出來其餘全0，構成4個秩為1的矩陣，相加之後得到單位陣滿秩了。
秩的性質：
\[\text{rank}(\boldsymbol{M}_1)+\text{rank}(\boldsymbol{M}_2)\ge\text{rank}(\boldsymbol{M}_1+\boldsymbol{M}_2) \]All Vectors with Sum of Elements equal to Zero
所有元素和為0的四個元素的向量 \(\boldsymbol{v}=(v_1,v_2,v_3,v_4)\) 構成的子空間是什麼樣子的？
\[v_2+v_2+v_3+v_4=0\Rightarrow \begin{bmatrix} 1 & 1 & 1 & 1 \end{bmatrix}\begin{bmatrix} v_1\\ v_2\\ v_3\\ v_4 \end{bmatrix}=0\Rightarrow\boldsymbol{Av}=0 \]所以子空間即為 \(\boldsymbol{N}(\boldsymbol{A})\)。秩為1，列數為4，故子空間維度是3，三個自由變數。
\[\boldsymbol{v}=c_1\begin{bmatrix} -1\\ 1\\ 0\\ 0 \end{bmatrix}+c_2\begin{bmatrix} -1\\ 0\\ 1\\ 0 \end{bmatrix}+c_3\begin{bmatrix} -1\\ 0\\ 0\\ 1 \end{bmatrix} \]Rank 1 Matrices and Matrix Multiplication
當你構造一個秩為1的矩陣的時候，會驚訝的發現每一行都是第一行的倍數，每一列都是第一列的倍數（如果第一列不是全0的話）。比如
\[\boldsymbol{A}=\begin{bmatrix} 1 & 4 & 5\\ 2 & 8 & 10 \end{bmatrix} \]可以表示為第一列乘第一行（第一行第一列的值必須是1才行，否則是需要有個倍數的）。所有列向量乘行向量都能得到一個秩為1的矩陣。
\[\boldsymbol{A}=\begin{bmatrix} 1 & 4 & 5\\ 2 & 8 & 10 \end{bmatrix}=\begin{bmatrix} 1\\ 2 \end{bmatrix}\begin{bmatrix} 1 & 4 & 5\\ \end{bmatrix} \]根據矩陣乘法可以發現兩個矩陣 \(\boldsymbol{A}_{m\times n}\) 和 \(\boldsymbol{B}_{n\times q}\) 相乘等於 \(n\) 個 \(\boldsymbol{A}\) 的列向量乘以 \(\boldsymbol{B}\) 的行向量的秩一矩陣的和：
\[\boldsymbol{C}=\boldsymbol{AB}=\sum_{k=1}^{n}\begin{bmatrix} a_{1k}\\ \vdots\\ a_{mk} \end{bmatrix}\begin{bmatrix} b_{k1} & \cdots & b_{kq} \end{bmatrix} \]一個矩陣可以由秩一矩陣構造出來，這就是為什麼秩一矩陣就像”building blocks“。