可持久化線段樹

可持久化資料結構是可以修改和查詢任意歷史版本的資料結構。

而其中，最簡單的“資料結構”非陣列莫屬了。

設有一題，一個數組，單點修改，單點查詢，不過要求在任意歷史版本為基礎修改，查詢任意歷史版本中的某個元素。

例題點這裡

一看資料範圍，10^6，暴力可以哦豁了。

彳亍吧，那就得另闢蹊徑了

既然只是單點修改，其他的n-1個點沒有被改過呀！於是可持久化資料結構應運而生。如果版本2相比版本1，只是一個元素的差異，那麼只需要儲存版本1，以及多出來的版本2的那一個元素，就OK了

那怎麼聯絡這一個元素，與版本1呢？

如題，用線段樹。

線段樹怎麼用呢？

就像下面這樣用

畫得太好了

橙色代表版本2，黑色代表版本1。

橙樹的左兒子與黑樹左兒子重合（因為版本2的左半區間沒有修改），橙色右兒子的左兒子是它唯一的獨立葉節點（因為這個點代表的元素被修改過），所有橙色的獨立節點代表的區間都被修改過。

所有的節點有且只有2個兒子，所有節點可能不只有1個父節點

所以，一定需要存的是每個版本的修改內容（從根節點下拉一條鏈），空間複雜度\Theta(\log_nq+n)。為了防止空間複雜度退化至\Theta(n\times q)，實現時需要動態開點。

結構體？與動態開點一致

struct stree{
    int lc,rc;
    int dat;
    #define lc(x) tr[x].lc
    #define rc(x) tr[x].rc
    #define dat(x) tr[x].dat
}tr[mn*30];//注意算出來是22倍，但由於放大了空間，所以要開30倍
 

建樹？照著動態開點寫就可以了（到這裡與可持久化沒有關係）

void build(int &now,int l,int r){
    now=++tot;
    if(l==r){
        dat(now)=a[l];
        return;
    }
    int mid=(l+r)>>1;
    build(lc(now),l,mid);
    build(rc(now),mid+1,r);
}

修改？這裡就是重頭戲了。除了標準的動態開點，還需要一個引數來連線該版本中未修改的其他部分與原版本。

那就再次回到這個圖

顯然，要在某個版本的基礎上進行修改，必先把與之重合的節點複製一遍，至於其他點，就各自新建一個節點就好啦。

void change(int &now,int las,int o,int l,int r,int val){
    now=++tot;
    //新建節點
    dat(now)=dat(las);
    lc(now)=lc(las);rc(now)=rc(las);
    //複製節點
    if(l==r){dat(now)=val;return;}
    int mid=(l+r)>>1;
    if(o<=mid)change(lc(now),lc(las),o,l,mid,val);
    else change(rc(now),rc(las),o,mid+1,r,val);
    //遞迴建整樹
}

查詢？與動態開點模板很像，只需要改改版本方面的引數就可以了。

int ask(int now,int l,int r,int o){
    if(l==r)return dat(now);
    int mid=(l+r)>>1;
    if(o<=mid)return ask(lc(now),l,mid,o);
    else return ask(rc(now),mid+1,r,o);
}

最後，不要忘了新建一個root陣列來存每個版本的根節點。