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定義

對於p，n，若存在x，滿足\(x^2 \equiv n \pmod{p}\)，則稱n為模p意義下的二次剩餘，即n在模p意義下能開方，計算二次剩餘就是計算x，x在模p意義下和\(\sqrt{n}\)等價

下文僅對p為奇素數時進行討論

判定

如何判斷n是否是模p意義下的二次剩餘？

p為奇素數，有如下結論：

（1）a是模p的二次剩餘的充要條件是\(a^{(p-1)/2} \equiv 1 \pmod{p}\)

（2）a是模p的非二次剩餘的充要條件是\(a^{(p-1)/2} \equiv -1 \pmod{p}\)

（3）當a時模p的二次剩餘時，同餘方程有兩個解

性質

二次剩餘有如下特性：

（1） 若a1,a2都是模p的二次剩餘，a1*a2也是模p的二次剩餘

（2） 若a1,a2都是模p的非二次剩餘，a1*a2是模p的二次剩餘

（3） 若a1是模p的二次剩餘,a2是模p的非二次剩餘,a1*a2是模p的非二次剩餘

（4）$ n^2 \equiv (p−n)^2 \pmod{p}$

（5） p的二次剩餘和二次非剩餘的個數均為(p−1)/2

求解方法

首先判斷這個數數n是否是二次剩餘，如果n是0則答案只有一個，就是0

若n不為0，且有二次剩餘，則進行如下運算：

隨機一個數a，使得\(w=a^2-n\)為非二次剩餘，

然後\((a+i)^{(p+1)/2}\)

程式碼

/*洛谷P5491
若有解，則按模p後遞增的順序輸出在模p意義下的全部解.
若兩解相同，只輸出其中一個,
若無解，則輸出Hola!
*/
#include <cstdio>
#include <cstdlib>
typedef long long ll;

int mod;
ll I_mul_I; // 虛數單位的平方

struct complex {
    ll real, imag;
    complex(ll real = 0, ll imag = 0): real(real), imag(imag) { }
};
inline bool operator == (complex x, complex y) {
    return x.real == y.real and x.imag == y.imag;
}
inline complex operator * (complex x, complex y) {
    return complex((x.real * y.real + I_mul_I * x.imag % mod * y.imag) % mod,
            (x.imag * y.real + x.real * y.imag) % mod);
}

complex power(complex x, int k) {
    complex res = 1;
    while(k) {
        if(k & 1) res = res * x;
        x = x * x;
        k >>= 1;
    }
    return res;
}

bool check_if_residue(int x) {//判斷x是否是模p意義下的二次剩餘
    return power(x, (mod - 1) >> 1) == 1;
}

void solve(int n, int p, int &x0, int &x1) {
    mod = p;

    ll a = rand() % mod;
    while(!a or check_if_residue((a * a + mod - n) % mod))
        a = rand() % mod;
    I_mul_I = (a * a + mod - n) % mod;

    x0 = int(power(complex(a, 1), (mod + 1) >> 1).real);
    x1 = mod - x0;
}
int main (){
    int T;
    scanf("%d",&T);
    while(T--){
        int n,p,x0,x1;
        scanf("%d%d",&n,&p);
        mod = p;
        if(n==0){//若n為0，有一個解0
            printf("0\n");
        }
        else if(check_if_residue(n)){//n不為0且有解，則必有一對不同解
            solve(n,p,x0,x1);
            if(x0<x1){
                printf("%d %d\n",x0,x1);
            }
            else{
                printf("%d %d\n",x1,x0);
            }
        }
        else{
            printf("Hola!\n");
        }
    }
}