先看題目

物品不能分隔，必須全部取走或者留下，因此稱為01揹包
（只有不取和取兩種狀態）

看第一個樣例

我們需要把4個物品裝入一個容量為10的揹包

我們可以簡化問題，從小到大入手分析

weight	value
2		1
3		3
4		5
7		9

先考慮物品數量為1的情況：

把前1件物品放入容量為1的揹包，此時得到的最大價值是：0
把前1件物品放入容量為2的揹包，此時得到的最大價值是：1
把前1件物品放入容量為3的揹包，此時得到的最大價值是：1
......
把前1件物品放入容量為10的揹包，此時得到的最大價值是：1

把前2件物品放入容量為1的揹包，此時得到的最大價值是：0
把前2件物品放入容量為2的揹包，此時得到的最大價值是：1
把前2件物品放入容量為3的揹包，此時得到的最大價值是：3
把前2件物品放入容量為4的揹包，此時得到的最大價值是：3
把前2件物品放入容量為5的揹包，此時得到的最大價值是：4
把前2件物品放入容量為6的揹包，此時得到的最大價值是：4
......
把前2件物品放入容量為10的揹包，此時得到的最大價值是：4

把前3件物品放入容量為1的揹包，此時得到的最大價值是：0
把前3件物品放入容量為2的揹包，此時得到的最大價值是：1
把前3件物品放入容量為3的揹包，此時得到的最大價值是：3
把前3件物品放入容量為4的揹包，此時得到的最大價值是：5
把前3件物品放入容量為5的揹包，此時得到的最大價值是：5
把前3件物品放入容量為6的揹包，此時得到的最大價值是：6
......
把前3件物品放入容量為10的揹包，此時得到的最大價值是：9

即：先從物品的數量開始列舉，對i件物品列舉所對應的揹包容量j，考慮它的最大價值f[i][j]

for(int i=1;i<=n;i++){//總共有n件物品
  for(int j=1;j<=m;j++){//揹包的最大容量是m
    
  }
}
 

對於一個f[i][j]：

（1）假設我們不選擇第i件物品，則f[i][j] = f[i-1][j]，相當於把前i-1件物品放入這個容量為j的揹包，得到的最大值；

（2）假設我們選擇第i件物品，則這個物品剩餘的空間就是j-w[i]，前一次迴圈的時候必定會算出這個值來，因此可以讓：f[i][j] = f[i-1][j-w[i]] + v[i]

兩種選擇中，我們保留最優解，避免下標出現負數（即j-w[i]可能為負數）

for(int i=1;i<=n;i++){
      for(int j=1;j<=m;j++){
            f[i][j]=f[i-1][j];
            if(j>=w[i])f[i][j]=max(f[i][j],f[i-1][j-w[i]]+v[i]);
      }
}
printf("%d\n",f[n][m]);
 

其實這道題還有更多的做法，例如遞迴，從大到小的做法

上面的做法其實是遞推，時間複雜度是O(n*m)，相比遞迴好一點，使用這種演算法只要保證n*m在10⁷以內即可。空間複雜度則是O(n*m)

其實上，f陣列是可以壓縮成一維陣列的

對於一個數f[i][j]，實際上是隻用到了第i-1行

因此，經過簡單的優化，只需要一行即可，把上一行的資訊移動下來，刪掉所有相關第一維度的東西，看看會變成什麼樣：

f[j]=f[j-w[i]]; //直接存到下一行中
f[j]=f[j];
f[j]=max(f[j],f[j-w[i]]);

對於一維陣列的問題所在：迴圈的順序會發生變化，如果繼續按照從左到右的順序進行迴圈的話，我們會發現，每一個數字都會被後面的資料所引用，因此需要從後往前來遞推。這樣，後面的值更新的時候不會被第二次使用，更新前面的值都不會被影響到。

反正記住是從後往前就行了

完整版的程式碼

for(int i=1;i<=n;i++){
    for(int j=m;j>=w[i];j--){
        //此處寫j>=w[i]避免下標產生負數
        //相當於if(j>=w[i]) f[j]=max(f[j],f[j-w[i]]+v[i]);
        f[j]=max(f[j],f[j-w[i]]+v[i]);
    }
}