位運算子

運算規則

與運算

“a&b”是指將參加運算的兩個整數a和b，按二進位制位進行“與”運算。

運算規則：0&0=0; 0&1=0; 1&0=0; 1&1=1;
即：兩位同時為“1”，結果才為“1”，否則為0
例如：3&5 即 0000 0011& 0000 0101 = 0000 0001 因此，3&5的值得1。
另，負數按補碼形式參加按位與運算。

按位與&比較實用的例子：

1. 比如我們經常要用的是否被2整除，一般都寫成if(n % 2 ＝＝ 0)
   可以換成if((n&1) ＝＝ 0)
2. 按位與運算可以取出一個數中指定位。例如：要取出整數84從左邊算起的第3、4、5、7、8位，只要執行84 & 59,因為84對應的二進位制為01010100，59對應的二進位制為00111011，01010100 & 00111011= 00010000可知84從左邊算起的第3、4、5、7、8位分別是0、1、0、0、0。
3. 清零。如果想將一個單元清零，使其全部二進位制位為0，只要與一個各位都為零的數值相與，結果為零。

或運算

參加運算的兩個物件，按二進位制位進行“或”運算。
運算規則：0|0=0； 0|1=1； 1|0=1； 1|1=1；
即 ：參加運算的兩個物件只要有一個為1，其值為1。
例如:3|5　即 00000011 | 0000 0101 = 00000111 因此，3|5的值得7。　
另，負數按補碼形式參加按位或運算。

按位或 （|） 比較實用的例子

1. 可以用一個unsigned int 來儲存多個布林值。比如一個檔案有讀許可權，寫許可權，執行許可權。看起來要記錄3個布林值。我們可以用一個unsigned int也可以完成任務。

2. 一個數r來表示讀許可權，它只更改個位來記錄讀許可權的布林值00000001 (表示有讀許可權)00000000 (表示沒有讀許可權)

3. 一個數w表示寫許可權，它只用二進位制的倒數第二位來記錄布林值00000010 (表示有寫許可權)00000000 (表示沒有寫許可權)

4. 一個數x表示執行許可權，它只用倒數第三位來記錄布林值00000100 (表示有執行許可權)00000000 (表示沒有執行許可權)

那麼一個檔案同時沒有3種許可權就是~r | ~ w | ~ x 即為 00000000，就是0

異或運算

參加運算的兩個資料，按二進位制位進行“異或”運算。
運算規則：0 ^ 0=0； 0 ^ 1=1； 1^ 0=1； 1^1=0；
即：參加運算的兩個物件，如果兩個相應位為“異”（值不同），則該位結果為1，否則為0。

下面重點說一下按位異或,異或 其實就是不進位加法,如1+1=0，,0+0=0,1+0=1。
異或的幾條性質:
1、交換律:a ^ b=b ^ a
2、結合律:(a ^ b) ^ c == a^ (b ^ c)

“異或運算”的特殊作用：
（1）使特定位翻轉: 例：X=10101110，使X低4位翻轉，用X ^ 0000 1111 = 1010 0001即可得到。
（2）與0相異或，保留原值 ，10101110^ 00000000 = 1010 1110。
（3）對於任何數x都有――自反性:x^ x=0，x^ 0=x 例如：A^B ^ B = A
（4）交換二個數：a =a ^ b; b = b ^ a; a = a ^ b;

按位異或應用舉例1:
給出 n 個整數，n 為奇數，其中有且僅有一個數出現了奇數次，其餘的數都出現了偶數次。用線性時間複雜度、常數空間複雜度找出出現了奇數次的那個數。
【輸入樣例】
9
3 3 7 2 4 2 5 5 4
【輸出樣例】
7

#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
int main()
{   int i,n,m,a;
    cin>>n;
    cin>>a;
    for(int i = 2; i <= n; i++) 
    {cin>>m; a^=m;   }
    cout<<a<<endl;
}

按位異或 應用舉例2:
1-1000放在含有1001個元素的陣列中，只有唯一的一個元素值重複，其它均只出現
一次。每個陣列元素只能訪問一次，設計一個演算法，將它找出來；不用輔助儲存空
間，能否設計一個演算法實現？
解法一、顯然已經有人提出了一個比較精彩的解法，將所有數加起來，減去1+2+...+1000的和。
這個演算法已經足夠完美了，相信出題者的標準答案也就是這個演算法，唯一的問題是，如果數列過大，則可能會導致溢位。
解法二、異或就沒有這個問題，並且效能更好。
將所有的數全部異或，得到的結果與1²3^...1000的結果進行異或，得到的結果就是重複數。

#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
int main()
{  int i,n,a[11]={1,2,5,3,4,5,6,7,8,9,10};
   n=a[0]^a[1];
  for(i=2;i<=10;i++)n=n^a[i]; 
  for(i=1;i<=10;i++)n=n^i;
  cout<<n;
}

按位異或 應用舉例3:
一系列數中,除兩個數外其他數字都出現過兩次,求這兩個數字,並且按照從小到大的順序輸出.例如 2 2 1 1 3 4.最後輸出的就是3 和4

#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
int a[1000];
int main()
{       int n;
        scanf("%d", &n);
        int x = 0;
        for(int i = 1; i <= n; i++) {      scanf("%d", &a[i]); x ^= a[i];    }
        int num1 = 0, num2 = 0;
        int tmp = 1;
        while(!(tmp & x)) tmp <<= 1;
        cout<<tmp<<endl;
        for(int i = 1; i <= n; i++) {
            if(tmp & a[i]) num1 ^= a[i];
            else num2 ^= a[i];
        }
        printf("%d %d\n", min(num1, num2), max(num1, num2));
    return 0;
}

取反

按位取反運算子（~）是指將整數的各個二進位制位都取反，即1變為0，0變為1。

例如，~9＝－10，因為9（00001001）所有位取反即為（11110110），這個數最高位是1，所以是補碼。補碼還原成反碼（反碼等於補碼減1）得到（11110101），再還原為原碼（反碼到原碼最高位不變，其它各位取反）等於（10001010）， 十進位制為－10。

左移

左移運算子是用來將一個數的各二進位制位左移若干位，移動的位數由右運算元指定（右運算元必須是非負值），其右邊空出的位用0填補，高位左移溢位則捨棄該高位。

在高位沒有1的情況下，左移1位相當於該數乘以2，左移2位相當於該數乘以2*2＝4,15＜＜2=60，即乘了４。
但此結論只適用於該數左移時被溢位捨棄的高位中不包含1的情況。

例如：143<<2 結果為60 因為143轉換為進製為10001111，左移2得00111100 ，結果為60。

右移

左移運算子是用來將一個數的各二進位制位左移若干位，移動的位數由右運算元指定（右運算元必須是非負值），其右邊空出的位用0填補，高位左移溢位則捨棄該高位。

在高位沒有1的情況下，左移1位相當於該數乘以2，左移2位相當於該數乘以2*2＝4,15＜＜2=60，即乘了４。
但此結論只適用於該數左移時被溢位捨棄的高位中不包含1的情況。

例如：143<<2 結果為60 因為143轉換為進製為10001111，左移2得00111100 ，結果為60。

不同長度的資料進行位運算

如果兩個不同長度的資料進行位運算時，系統會將二者按右端對齊，然後進行位運算。

以“與”運算為例說明如下：如果一個4個位元組的資料與一個2個位元組資料進行“與”運算，右端對齊後，左邊不足的位依下面三種情況補足：

（1）如果整型資料為正數，左邊補16個0。

（2）如果整型資料為負數，左邊補16個1。

（3）如果整形資料為無符號數，左邊也補16個0。

常見操作

最後一個會在樹狀陣列中用到