本文為簡書作者鄭永欣原創，CDA資料分析師已獲得授權

查詢和排序都是程式設計中經常用到的演算法。查詢相對而言較為簡單，不外乎順序查詢、二分查詢、雜湊表查詢和二叉排序樹查詢。排序常見的有插入排序、氣泡排序、歸併排序和快速排序。其中我們應該重點掌握二分查詢、歸併排序和快速排序，保證能隨時正確、完整地寫出它們的程式碼。同時對其他的查詢和排序必須能準確說出它們的特點、對其平均時間複雜度、最差時間複雜度、額外空間消耗和穩定性爛熟於胸。

1、內排序：

• 插入排序：直接插入排序(InsertSort)、希爾排序（ShellSort）
• 交換排序：氣泡排序(BubbleSort)、快速排序(QuickSort)
• 選擇排序：直接選擇排序(SelectSort)、堆排序(HeapSort)
• 歸併排序(MergeSort)
• 基數排序(RadixSort)

2、外排序：

• 磁碟排序
• 磁帶排序

3、查詢：

• 線性表的查詢：順序查詢、折半查詢（二分查詢）、索引儲存結構和分塊查詢
• 樹表的查詢：二叉排序樹、平衡二叉樹、B-樹、B+樹
• 雜湊表查詢

快速排序(QuickSort)

平均/最好時間複雜度：O(nlogn)

最差時間複雜度：O(n^2)

平均空間複雜度：O(logn)

最差空間複雜度：O(n)

穩定性：不穩定

時間複雜度分析：

快速排序總體的平均效果是最好的，當如果陣列本身已經排好序或幾乎有序的情況下，每輪排序又都是以最後一個數字作為比較的標準，那麼排序的效率就只有O(n^2)。

空間複雜度分析：

快速排序通過遞迴來實現，遞迴造成的棧空間的使用，最好情況，遞迴樹的深度為log2n，其空間複雜度為O(logn)，最壞情況，需要進行n‐1遞迴呼叫，其空間複雜度為O(n)，平均情況，空間複雜度也為O(logn)。

穩定性分析：

由於關鍵字的比較和交換是跳躍進行的，因此，快速排序是一種不穩定的排序方法。

排序思想：

快速排序是對氣泡排序的一種改進。通過一趟排序將要排序的資料分割成獨立的兩部分，其中一部分的所有資料都比另外一部分的所有資料都要小，然後再按此方法對這兩部分資料分別進行快速排序，整個排序過程可以遞迴進行，以此達到整個資料變成有序序列。

經典實現：

歸併排序(MergeSort)

平均/最好/最差時間複雜度：O(nlogn)

平均空間複雜度：O(n)

穩定性：穩定

複雜度分析：

歸併排序比較佔用記憶體，但卻是一種效率高且穩定的演算法。

程式碼實現：

二分查詢

平均/最差時間複雜度：O(logn)

平均查詢長度ASL：log2(n+1) - 1

空間複雜度：O(1)

演算法分析：折半查詢要求線性表是有序表。另外，由於折半查詢需要確定查詢的區間，所以只適用於順序儲存結構，不適用於鏈式儲存結構。為保持順序表的有序，表的插入和刪除操作都需要移動大量元素，所以折半查詢特別適用於一旦建立就很少改動，又經常需要進行查詢的線性表。

實現程式碼

索引儲存結構和分塊查詢

索引儲存結構

索引儲存結構是在儲存資料的同時，還建立附加的索引表。索引表中的每一項稱為索引項，索引項的結構一般形式為（關鍵字，地址）。

關鍵字唯一標識一個節點，地址是指向該關鍵字對應節點的指標，也可以是相對地址。

索引儲存結構的優缺點

優點：線性結構採用索引儲存後，可以對節點進行隨機訪問。在進行插入、刪除運算時，由於只需要修改索引表中相關節點的儲存地址，而不必移動儲存在節點表中的節點，所以仍可儲存較高的運算效率。

缺點：為了建立索引表需要增加時間和空間的開銷。

分塊查詢

分塊查詢又稱索引順序查詢，它是一種效能介於順序查詢和二分查詢之間的查詢方法。

分塊查詢需要按照如下的索引方式建立儲存線性表：將表R[0.. n-1]均分為b塊，前b-1塊中元素個數為s=？n/b？，最後一塊即第b塊的元素個數等於或小於s；每一塊的關鍵字不一定有序，但是前一塊中的最大關鍵字必須小於後一塊中的最小關鍵字，即要求表是“分塊有序”的。

分塊查詢的基本思路是：首先查詢索引表，因為索引表是有序表，故可以用折半查詢或順序查詢，以確定待查的元素在哪一塊；然後在已確定的塊中進行順序查詢（因塊內元素無序，只能用順序查詢）。

採用折半查詢來確定塊元素所在塊的平均查詢長度ASL：log2(b+1) + s/2，s越小，即每塊長度越小越好

採用順序查詢來確定塊元素所在塊的平均查詢長度ASL：(b+s)/2 + 1，s=√￣n時，ASL取極小值√￣n+1，即採用順序查詢確定塊時，各塊元素個數取√￣n最佳。

分塊查詢的缺點：增加一個索引表的儲存空間和建立索引表的時間。

氣泡排序（BubbleSort）

平均/最差時間複雜度：O(n^2)

最好時間複雜度：O(n)

平均空間複雜度：O(1)

穩定性：穩定

演算法思想：

從最下面的元素開始，對每兩個相鄰的元素的關鍵字進行比較，且使關鍵字小的元素換至關鍵字大的元素之上，使得一趟排序後，關鍵字最小的元素到達最上端。

程式碼實現：

選擇排序（SelectSort）

平均/最好/最差時間複雜度：O(n^2)

空間複雜度：O(1)

穩定性：不穩定

效能分析：適用於從大量元素中選擇一部分排序元素，例如從1w個元素中找出前10個元素

排序思路：

第i趟排序開始時，R[0 .. i-1]是有序區，而R[i .. n-1]是無序區。該趟排序是從當前無序區中選出關鍵字最小的元素R[k]，將它和無序區的第一個元素R[i]交換，使得R[0.. i]和R[i+1 .. n-1]變成新的有序區和新的無序區。

程式碼實現：

堆排序（heapSort）

平均/最好/最差時間複雜度：O(nlogn)

空間複雜度：O(1)

穩定性：不穩定

效能分析：由於建初始堆所需的比較次數較多，所以堆排序不適宜於記錄數較少的檔案。

排序思路：

堆排序是一種樹形選擇排序方法，在排序過程中，將data[1 .. n]看成一顆完全二叉樹的順序儲存結構，利用完全二叉樹中雙親節點和孩子節點之間的內在關係，在當前無序區中選擇關鍵字最大（或最小）的元素。

程式碼實現：

void heapSort(int[] data, int length) { // 為了與二叉樹的順序儲存結構一致，堆排序的資料序列的下標從1開始 if (data == null || length <= 0) throw new RuntimeException("Invalid Paramemers"); for (int i = length/2; i >= 1; i--) //初始化堆 sift(data, i, length); for (int i = length; i >=2; i--) { //進行n-1趟堆排序，每一趟堆排序的元素個數減1 swap(data, i, 1); //將最後一個元素同當前區間內data[1]對換 sift(data, 1, i-1); //篩選data[1]節點，得到i-1個節點的堆 } } void sift(int[] data, int low, int high) { int i = low, j = 2 * i; //data[j]是data[i]的左孩子 int tmp = data[i]; while (j <= high) { if (j < high && data[j] < data[j + 1]) //若右孩子較大，把j指向右孩子 j++; if (tmp < data[j]) { data[i] = data[j]; //將data[j]調整到雙親節點位置上 i = j; //修改i和j值，以便繼續向下篩選 j = 2 * i; } else break; //篩選結束 } data[i] = tmp; //被篩選節點的值放入最終位置 }

插入排序（InsertSort）

平均/最差時間複雜度：O(n^2)

最好時間複雜度：O(n)

空間複雜度：O(1)

穩定性：穩定

演算法思想：

每次將一個待排序元素，按其關鍵字大小插入到已經排好序的子表中的恰當位置，知道全部元素插入完成為止。

實現程式碼：

void insertSort(int[] data, int length) {    if (data == null || length <= 0) 
        throw new RuntimeException("Invalid Paramemers");    for (int i = 1; i < length; i++) {        int tmp = data[i];        int j = i-1;                      //從右向左在有序區data[0 .. i-1]中找data[i]的插入位置
        while (j >= 0 && data[j] > tmp) {
            data[j+1] = data[j];          //將大於data[i]的元素後移
            j--;
        }
        data[j+1] = tmp;
    }
}

希爾排序（ShellSort）

平均時間複雜度：O(n^1.3)

空間複雜度：O(1)

穩定性：不穩定

演算法分析：希爾排序和插入排序基本一致，為什麼希爾排序的時間效能會比插入排序優呢？直接插入排序在表初態為正序時所需時間最少，實際上，當表初態基本有序時直接插入排序所需的比較和移動次數都比較少。另一方面，當n值較小時，n和n^2的差別也比較小，即直接插入排序的最好時間複雜度O(n)和最差時間複雜度O(n^2)差別也不大。在希爾排序開始時，增量d1較大，分組較多，每組的元素數目少，故各組內直接插入排序較快，後來增量di逐漸縮小，分組數逐漸減少，而各組內的元素數目逐漸增多，但由於已經按di-1作為增量排過序，使表教接近有序狀態，所以新的一趟排序過程也較快。因此，希爾排序在效率上較直接插入排序有較大的改進。

程式碼實現：

基數排序（RadixSort）

平均/最好/最差時間複雜度：O(d(n+r))

空間複雜度：O(r)

穩定性：穩定

實現程式碼：

各種內排序方法的比較和總結

按平均時間複雜度將排序分為3類：

• 平方階O(n^2)排序，一般稱為簡單排序，例如直接插入排序，直接選擇排序和氣泡排序
• 線性對數階O(nlogn)排序，如快速排序、堆排序和歸併排序
• 線性階O(n)排序，如基數排序（假定資料的位數d和進位制r為常量時）

各種排序方法的效能

因為不同排序方法適應於不同的應用環境和要求，所以選擇適合的排序方法應綜合考慮下列因素：

• 待排序的元素數目n（問題規模）；
• 元素的大小（每個元素的規模）；
• 關鍵字的結構及其初始狀態；
• 對穩定性的要求；
• 語言工具的條件；
• 儲存結構；
• 時間和空間複雜度等。

沒有一種排序方法是絕對好的。每一種排序方法都各有其優缺點，適用於不同的環境。因此，在實際應用中，應根據具體情況做選擇。首先考慮排序對穩定性的要求，若要求穩定，則只能在穩定方法中選取，否則可以在所有方法中選取；其次要考慮待排序節點數n的大小，若n較大，則可在改進方法中選取，否則在簡單方法中選取；然後在考慮其他因素。綜合考慮以上幾點可以得出的大致結論：

• 若n較小（如n<=50），可採用直接插入排序或直接選擇排序。當元素規模較小時，直接插入排序較好；否則因為直接選擇排序移動的元素少於直接插入排序，應選直接選擇排序。
• 若檔案初始狀態基本有序（指正序），則應選用直接插入、冒泡或隨機的快速排序。
• 若n較大，則應採用時間複雜度為O(nlogn)的排序方法：快速排序、堆排序或歸併排序。快速排序被認為是目前基於比較的內部排序中較好的方法，當待排序的關鍵字隨機分佈時，快速排序的平均時間最短；但堆排序所需的輔助空間比快速排序少，並且不會出現快速排序可能出現的最壞情況。這兩種排序都是不穩定的，若要求穩定，則可選用歸併排序。
• 若要將兩個有序表合併成一個新的有序表，最好的方法是歸併排序。
• 在基於比較的排序方法中，至少是需要O(nlogn)的時間。而基數排序只需要一步就會引起r種可能的轉移，即把一個元素裝入r個佇列之一，因此一般情況下，基數排序可能在O(n)時間內完成對n個元素的排序。但遺憾的是，基數排序只適用於像字串和整數這類有明顯結構特徵的關鍵字，而當關鍵字的取值範圍屬於某個無窮集合（例如實數型關鍵字）時，無法使用基數排序，這時只有藉助於“比較”的方法來排序。由此可知，若n很大，元素的關鍵字位數較少且可以分解時，採用基數排序較好。

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