原文：Implementing Batch Normalization in Tensorflow（https://r2rt.com/implementing-batch-normalization-in-tensorflow.html） 來源：R2RT 譯者注：本文基於一個最基礎的全連線網路，演示如何構建Batch Norm層、如何訓練以及如何正確進行測試，玩轉這份示例程式碼是理解Batch Norm的最好方式。 文中程式碼可在jupyter notebook環境下執行：

• nn_withBN.ipynb（https://github.com/EthanYuan/TensorFlow-Zero-to-N/blob/master/TF1_4/nn_withBN.ipynb），
• nn_withBN_ok.ipynb（https://github.com/EthanYuan/TensorFlow-Zero-to-N/blob/master/TF1_4/nn_withBN_ok.ipynb）

批標準化，是Sergey Ioffe和Christian Szegedy在2015年3月的論文BN2015（https://arxiv.org/pdf/1502.03167v3.pdf）中提出的一種簡單、高效的改善神經網路效能的方法。論文BN2015中，Ioffe和Szegedy指出批標準化不僅能應用更高的學習率、具有正則化器的效用，還能將訓練速度提升14倍之多。本文將基於TensorFlow來實現批標準化。

問題的提出

批標準化所要解決的問題是：模型引數在學習階段的變化，會使每個隱藏層輸出的分佈也發生改變。這意味著靠後的層要在訓練過程中去適應這些變化。

批標準化的概念

為了解決這個問題，論文BN2015提出了批標準化，即在訓練時作用於每個神經元啟用函式（比如sigmoid或者ReLU函式）的輸入，使得基於每個批次的訓練樣本，啟用函式的輸入都能滿足均值為0，方差為1的分佈。對於啟用函式σ(Wx+b)，應用批標準化後變為σ(BN(Wx+b))，其中BN代表批標準化。

批標準化公式

對一批資料中的某個數值進行標準化，做法是先減去整批資料的均值，然後除以整批資料的標準差√(σ2+ε)。注意小的常量ε加到方差中是為了防止除零。給定一個數值xi，一個初始的批標準化公式如下：

上面的公式中，批標準化對啟用函式的輸入約束為正態分佈，但是這樣一來限制了網路層的表達能力。為此，可以通過乘以一個新的比例引數γ，並加上一個新的位移引數β，來讓網路撤銷批標準化變換。γ和β都是可學習引數。

加入γ和β後得到下面最終的批標準化公式：

基於TensorFlow實現批標準化

我們將把批標準化加進一個有兩個隱藏層、每層包含100個神經元的全連線神經網路，並展示與論文BN2015中圖1（b）和（c）類似的實驗結果。

需要注意，此時該網路還不適合在測試期使用。後面的“模型預測”一節中將會闡釋其中的原因，並給出修復版本。

Imports,config
import numpy as np, tensorflow as tf, tqdm
from tensorflow.examples.tutorials.mnist                        import input_data
import matplotlib.pyplot as plt %matplotlib inline mnist = input_data.read_data_sets('MNIST_data', one_hot=True)

# Generate predetermined random weights so the networks are similarly initialized
w1_initial = np.random.normal(size=(784,100)).astype(np.float32) w2_initial = np.random.normal(size=(100,100)).astype(np.float32) w3_initial = np.random.normal(size=(100,10)).astype(np.float32)
# Small epsilon value for the BN transform
epsilon = 1e-3
Building the  graph
# Placeholders
x = tf.placeholder(tf.float32, shape=[None, 784]) y_ = tf.placeholder(tf.float32, shape=[None, 10])

# Layer 1 without BNw1 = tf.Variable(w1_initial) b1 = tf.Variable(tf.zeros([100])) z1 = tf.matmul(x,w1)+b1 l1 = tf.nn.sigmoid(z1)

下面是經過批標準化的第一層：

# Layer 1 with BN
w1_BN = tf.Variable(w1_initial)
# Note that pre-batch normalization bias is ommitted. The effect of this bias would be
# eliminated when subtracting the batch mean. Instead, the role of the bias is performed
# by the new beta variable. See Section 3.2 of the BN2015 paper.
z1_BN = tf.matmul(x,w1_BN)
# Calculate batch mean and variance
batch_mean1, batch_var1 = tf.nn.moments(z1_BN,[0])
# Apply the initial batch normalizing transform
z1_hat = (z1_BN - batch_mean1) / tf.sqrt(batch_var1 + epsilon)
# Create two new parameters, scale and beta (shift)
scale1 = tf.Variable(tf.ones([100]))
beta1 = tf.Variable(tf.zeros([100]))
# Scale and shift to obtain the final output of the batch normalization
# this value is fed into the activation function (here a sigmoid)
BN1 = scale1 * z1_hat + beta1
l1_BN = tf.nn.sigmoid(BN1)

# Layer 2 without BNw2 = tf.Variable(w2_initial) b2 = tf.Variable(tf.zeros([100])) z2 = tf.matmul(l1,w2)+b2 l2 = tf.nn.sigmoid(z2)

TensorFlow提供了tf.nn.batch_normalization，我用它定義了下面的第二層。這與上面第一層的程式碼行為是一樣的。查閱開原始碼在這裡（https://github.com/tensorflow/tensorflow/blob/master/tensorflow/python/ops/nn_impl.py#L911）。

# Layer 2 with BN, using Tensorflows built-in BN function
w2_BN = tf.Variable(w2_initial) z2_BN = tf.matmul(l1_BN,w2_BN) batch_mean2, batch_var2 = tf.nn.moments(z2_BN,[0]) scale2 = tf.Variable(tf.ones([100])) beta2 = tf.Variable(tf.zeros([100])) BN2 = tf.nn.batch_normalization(z2_BN,batch_mean2,batch_var2,beta2,scale2,epsilon) l2_BN = tf.nn.sigmoid(BN2)

# Softmaxw3 = tf.Variable(w3_initial) b3 = tf.Variable(tf.zeros([10])) y  = tf.nn.softmax(tf.matmul(l2,w3)+b3) w3_BN = tf.Variable(w3_initial) b3_BN = tf.Variable(tf.zeros([10])) y_BN  = tf.nn.softmax(tf.matmul(l2_BN,w3_BN)+b3_BN)

# Loss, optimizer and predictions cross_entropy = -tf.reduce_sum(y_*tf.log(y)) cross_entropy_BN = -tf.reduce_sum(y_*tf.log(y_BN))  train_step = tf.train.GradientDescentOptimizer(0.01).minimize(cross_entropy) train_step_BN = tf.train.GradientDescentOptimizer(0.01).minimize(cross_entropy_BN)  correct_prediction = tf.equal(tf.arg_max(y,1),tf.arg_max(y_,1)) accuracy = tf.reduce_mean(tf.cast(correct_prediction,tf.float32)) correct_prediction_BN = tf.equal(tf.arg_max(y_BN,1),tf.arg_max(y_,1)) accuracy_BN = tf.reduce_mean(tf.cast(correct_prediction_BN,tf.float32))

training the network

zs, BNs, acc, acc_BN = [], [], [], [] sess = tf.InteractiveSession() sess.run(tf.global_variables_initializer())for i in tqdm.tqdm(range(40000)): batch = mnist.train.next_batch(60) train_step.run(feed_dict={x: batch[0], y_: batch[1]}) train_step_BN.run(feed_dict={x: batch[0], y_: batch[1]}) if i % 50 is 0: res = sess.run([accuracy,accuracy_BN,z2,BN2],feed_dict={x: mnist.test.images, y_: mnist.test.labels}) acc.append(res[0]) acc_BN.append(res[1]) zs.append(np.mean(res[2],axis=0)) # record the mean value of z2 over the entire test set BNs.append(np.mean(res[3],axis=0)) # record the mean value of BN2 over the entire test setzs, BNs, acc, acc_BN = np.array(zs), np.array(BNs), np.array(acc), np.array(acc_BN)

速度和精度的提升

如下所示，應用批標準化後，精度和訓練速度均有可觀的改善。論文BN2015中的圖2顯示，批標準化對於其他網路架構也同樣具有重要作用。

fig, ax = plt.subplots()  ax.plot(range(0,len(acc)*50,50),acc, label='Without BN') ax.plot(range(0,len(acc)*50,50),acc_BN, label='With BN') ax.set_xlabel('Training steps') ax.set_ylabel('Accuracy') ax.set_ylim([0.8,1]) ax.set_title('Batch Normalization Accuracy') ax.legend(loc=4) plt.show()

啟用函式輸入的時間序列圖示

下面是網路第2層的前5個神經元的sigmoid啟用函式輸入隨時間的分佈情況。批標準化在消除輸入的方差/噪聲上具有顯著的效果。

fig, axes = plt.subplots(5, 2, figsize=(6,12)) fig.tight_layout()for i, ax in enumerate(axes): ax[0].set_title("Without BN") ax[1].set_title("With BN") ax[0].plot(zs[:,i]) ax[1].plot(BNs[:,i])

模型預測

使用批標準化模型進行預測時，使用批量樣本自身的均值和方差會適得其反。想象一下單個樣本進入我們訓練的模型會發生什麼？啟用函式的輸入將永遠為零（因為我們做的是均值為0的標準化），而且無論輸入是什麼，我們總得到相同的結果。

驗證如下:

predictions = [] correct = 0for i in range(100): pred, corr = sess.run([tf.arg_max(y_BN,1), accuracy_BN], feed_dict={x: [mnist.test.images[i]], y_: [mnist.test.labels[i]]}) correct += corr predictions.append(pred[0])print("PREDICTIONS:", predictions)print("ACCURACY:", correct/100)

PREDICTIONS: [8, 8, 8, 8, 8, 8, 8, 8, 8, 8, 8, 8, 8, 8, 8, 8, 8, 8, 8, 8, 8, 8, 8, 8, 8, 8, 8, 8, 8, 8, 8, 8, 8, 8, 8, 8, 8, 8, 8, 8, 8, 8, 8, 8, 8, 8, 8, 8, 8, 8, 8, 8, 8, 8, 8, 8, 8, 8, 8, 8, 8, 8, 8, 8, 8, 8, 8, 8, 8, 8, 8, 8, 8, 8, 8, 8, 8, 8, 8, 8, 8, 8, 8, 8, 8, 8, 8, 8, 8, 8, 8, 8, 8, 8, 8, 8, 8, 8, 8, 8]ACCURACY: 0.02

我們的模型總是輸出8，在MNIST的前100個樣本中8實際上只有2個，所以精度只有2%。

修改模型的測試期行為

為了修復這個問題，我們需要將批均值和批方差替換成全域性均值和全域性方差。詳見論文BN2015的3.1節。但是這會造成，上面的模型想正確的工作，就只能一次性的將測試集所有樣本進行預測，因為這樣才能算出理想的全域性均值和全域性方差。

為了使批標準化模型適用於測試，我們需要在測試前的每一步批標準化操作時，都對全域性均值和全域性方差進行估算，然後才能在做預測時使用這些值。和我們需要批標準化的原因一樣（啟用輸入的均值和方差在訓練時會發生變化），估算全域性均值和方差最好在其依賴的權重更新完成後，但是同時進行也不算特別糟，因為權重在訓練快結束時就收斂了。

現在，為了基於TensorFlow來實現修復，我們要寫一個batch_norm_wrapper函式，來封裝啟用輸入。這個函式會將全域性均值和方差作為tf.Variables來儲存，並在做標準化時決定採用批統計還是全域性統計。為此，需要一個is_training標記。當is_training == True，我們就要在訓練期學習全域性均值和方差。程式碼骨架如下：

def batch_norm_wrapper(inputs, is_training): ... pop_mean = tf.Variable(tf.zeros([inputs.get_shape()[-1]]), trainable=False) pop_var = tf.Variable(tf.ones([inputs.get_shape()[-1]]), trainable=False) if is_training: mean, var = tf.nn.moments(inputs,[0]) ... # learn pop_mean and pop_var here ... return tf.nn.batch_normalization(inputs, batch_mean, batch_var, beta, scale, epsilon) else: return tf.nn.batch_normalization(inputs, pop_mean, pop_var, beta, scale, epsilon)

注意變數節點聲明瞭 trainable = False，因為我們將要自行更新它們，而不是讓最優化器來更新。

在訓練期間，一個計算全域性均值和方差的方法是指數平滑法，它很簡單，且避免了額外的工作，我們應用如下：

decay = 0.999 # use numbers closer to 1 if you have more data
train_mean = tf.assign(pop_mean, pop_mean * decay + batch_mean * (1 - decay))
train_var = tf.assign(pop_var, pop_var * decay + batch_var * (1 - decay))

最後，我們需要解決如何呼叫這些訓練期操作。為了完全可控，你可以把它們加入到一個graph collection（可以看看下面連結的TensorFlow原始碼），但是簡單起見，我們將會在每次計算批均值和批方差時都呼叫它們。為此，當is_training為True時，我們把它們作為依賴加入了batch_norm_wrapper的返回值中。最終的batch_norm_wrapper函式如下：

# this is a simpler version of Tensorflow's 'official' version. See:
# https://github.com/tensorflow/tensorflow/blob/master/tensorflow/contrib/layers/python/layers/layers.py#L102
 def batch_norm_wrapper(inputs, is_training, decay = 0.999):      scale = tf.Variable(tf.ones([inputs.get_shape()[-1]]))     beta = tf.Variable(tf.zeros([inputs.get_shape()[-1]]))     pop_mean = tf.Variable(tf.zeros([inputs.get_shape()[-1]]), trainable=False)     pop_var = tf.Variable(tf.ones([inputs.get_shape()[-1]]), trainable=False)   
 if is_training:         batch_mean, batch_var = tf.nn.moments(inputs,[0])         train_mean = tf.assign(pop_mean,        pop_mean * decay + batch_mean * (1 - decay))         train_var = tf.assign(pop_var,      pop_var * decay + batch_var * (1 - decay))        
with tf.control_dependencies([train_mean, train_var]):            
return tf.nn.batch_normalization(inputs, batch_mean, batch_var, beta, scale, epsilon)    
else:        
return tf.nn.batch_normalization(inputs, pop_mean, pop_var, beta, scale, epsilon)

實現正常測試

現在為了證明修復後的程式碼可以正常測試，我們使用batch_norm_wrapper重新構建模型。注意，我們不僅要在訓練時做一次構建，在測試時還要重新做一次構建，所以我們寫了一個build_graph函式（實際的模型物件往往也是這麼封裝的）：

def build_graph(is_training): # Placeholders     x = tf.placeholder(tf.float32, shape=[None, 784])     y_ = tf.placeholder(tf.float32, shape=[None, 10])    
# Layer 1     w1 = tf.Variable(w1_initial)     z1 = tf.matmul(x,w1)     bn1 = batch_norm_wrapper(z1, is_training)     l1 = tf.nn.sigmoid(bn1)    
#Layer 2     w2 = tf.Variable(w2_initial)     z2 = tf.matmul(l1,w2)     bn2 = batch_norm_wrapper(z2, is_training)     l2 = tf.nn.sigmoid(bn2)    
# Softmax     w3 = tf.Variable(w3_initial)     b3 = tf.Variable(tf.zeros([10]))     y  = tf.nn.softmax(tf.matmul(l2, w3))    
# Loss, Optimizer and Predictions     cross_entropy = -tf.reduce_sum(y_*tf.log(y))      train_step = tf.train.GradientDescentOptimizer(0.01).minimize(cross_entropy)      correct_prediction = tf.equal(tf.arg_max(y,1),tf.arg_max(y_,1))     accuracy = tf.reduce_mean(tf.cast(correct_prediction,tf.float32))    
return (x, y_), train_step, accuracy, y, tf.train.Saver()

#Build training graph, train and save the trained modelsess.close() tf.reset_default_graph() (x, y_), train_step, accuracy, _, saver = build_graph(is_training=True)  acc = []with tf.Session() as sess:     sess.run(tf.global_variables_initializer())    
for i in tqdm.tqdm(range(10000)):         batch = mnist.train.next_batch(60)         train_step.run(feed_dict={x: batch[0], y_: batch[1]})       
 if i % 50 is 0:     res = sess.run([accuracy],feed_dict={x: mnist.test.images, y_: mnist.test.labels})     acc.append(res[0])     saved_model = saver.save(sess, './temp-bn-save')  print("Final accuracy:", acc[-1])

Final accuracy: 0.9721

現在應該一切正常了，我們重複上面的實驗：

tf.reset_default_graph() (x, y_), _, accuracy, y, saver = build_graph(is_training=False)  predictions = [] correct = 0with tf.Session() as sess:     sess.run(tf.global_variables_initializer())     saver.restore(sess, './temp-bn-save')    
for i in range(100):         pred, corr = sess.run([tf.arg_max(y,1), accuracy],       feed_dict={x: [mnist.test.images[i]], y_: [mnist.test.labels[i]]})         correct += corr         predictions.append(pred[0]) print("PREDICTIONS:", predictions) print("ACCURACY:", correct/100)

PREDICTIONS: [7, 2, 1, 0, 4, 1, 4, 9, 6, 9, 0, 6, 9, 0, 1, 5, 9, 7, 3, 4, 9, 6, 6, 5, 4, 0, 7, 4, 0, 1, 3, 1, 3, 4, 7, 2, 7, 1, 2, 1, 1, 7, 4, 2, 3, 5, 1, 2, 4, 4, 6, 3, 5, 5, 6, 0, 4, 1, 9, 5, 7, 8, 9, 3, 7, 4, 6, 4, 3, 0, 7, 0, 2, 9, 1, 7, 3, 2, 9, 7, 7, 6, 2, 7, 8, 4, 7, 3, 6, 1, 3, 6, 9, 3, 1, 4, 1, 7, 6, 9]ACCURACY: 0.99