物化檢視全量重新整理與insert的redo生成量測試（69天)
AC自動機(AC automaton)
- AC自動機，用於處理多模匹配的字串演算法。
- 可以看作字典樹trie和KMP的結合（一句對會AC自動機和不會的人都沒用的話）
1.trie
每條邊代表一個字元.
有一源點，該點到另外某一點的路徑（路徑也對應唯一結點）即構成一個字串，且為曾經插入過trie的某一字串的字首.
2.AC自動機
對於trie上每一結點，建立一個指向代表其最長字尾的結點的指標，姑且稱為失配(fail)指標. 假設已有一顆trie，接下來討論如何弄出fail指標.
舉個例子，如果有一個由A（代表字串agriculture），指向B（代表字串culture）的指標，則不難發現，A在trie上的父節點\(A^{\prime}\)
由此，不難想到一個基於bfs的建立方式：
插入字串&建立fail程式碼
//tot[MAXN]:以該結點結尾的模式串數 //tr[MAXN][26]: 邊 void insert(char *s)//插入字串建立trie { int cur = 0; for (int i = 0; s[i]; i++) { if (!tr[cur][s[i] - 'a']) tr[cur][s[i] - 'a'] = ++cnt; cur = tr[cur][s[i] - 'a']; } tot[cur]++; } void build()//構建fail指標 { std::queue<int> q; memset(fail, 0, sizeof fail); for (int i = 0; i < 26; i++) if (tr[0][i]) q.push(tr[0][i]); while (!q.empty()) { int x = q.front(); q.pop(); for (int i = 0; i < 26; i++) if (tr[x][i]) fail[tr[x][i]] = tr[fail[x]][i], q.push(tr[x][i]); else//這部分會在下面提及 tr[x][i] = tr[fail[x]][i]; } }
其中，第25行tr[x][i] = tr[fail[x]][i];令人疑惑.
但事實上，可以發現在23行中可能遇到問題：fail[x]並沒有子節點i，這時候，就要繼續查詢fail[fail[x]]是否有子節點i……導致效率變低.
所以，類似於路徑壓縮並查集，便可以讓沒有子節點i的x也指向fail[x]的子節點i. 而且與此同時，在之後的匹配中我們也可以更加方便，而不需要到了葉子結點跳fail.
至此，AC自動機的基本操作————構建fail指標完成.
3.應用
I.多模匹配
洛谷P3808 AC 自動機 簡單版
最基礎的應用，直接在AC自動機上爬就行了. 當走到一個結點時，沿著它的fail一直跳，統計上它所有後綴的貢獻，然後打上標記（因為一個模式串不能算多次），之後跳到標記就停止這樣便可以保證複雜度為\(O(模式串總長)\)
匹配程式碼
int match(char *s)
{
int cur = 0, res = 0;
for (int i = 0; s[i]; i++) {
cur = tr[cur][s[i] - 'a'];
for (int j = cur; j && ~tot[j]; j = fail[j])
res += tot[j], tot[j] = -1;//直接把以這個結點結尾的模式串個數改為-1當作標記
}
return res;
}
II.拓撲排序優化
洛谷P5357 AC 自動機 二次加強版
類似於上面的匹配，每到一個結點時，就把它和通過fail能到的結點所對應字串（如果是某個模式串結尾）的答案+1.
然鵝，上一題的複雜度保證，來源於通過標記使每個結點至多被訪問一次，但在這題中沒有了這樣的保證（不能打標記），所以暴力跳fail會TLE（不然加強了個寂寞）
繼續觀察fail，發現每次fail，深度不然減少，所以如果把所有fail和結點單獨抽出來，可以得到一張DAG.
所以，可以在爬trie中先將貢獻記在一個結點，最後再通過拓撲排序將貢獻傳給所有通過fail能到達的結點.
主要程式碼
void topo()
{
static std::queue<int> q;
for (int i = 0; i <= cnt; i++)
if (!inDeg[i])
q.push(i);
while (!q.empty()) {
int x = q.front();
ans[sid[x]] = rec[x];//統計答案，sid指結點對應字串的編號
q.pop();
rec[fail[x]] += rec[x];
if (!--inDeg[fail[x]])
q.push(fail[x]);
}
}
void match()
{//比較難看，邊讀入邊處理了
char ch = getchar();
while (!(ch >= 'a' && ch <= 'z'))
ch = getchar();
int cur = 0;
for (; ch >= 'a' && ch <= 'z'; ch = getchar())
cur = tr[cur][ch - 'a'], rec[cur]++;
topo();
}
III.fail樹
洛谷P3966 [TJOI2013]單詞
此題中，問題變成了考慮一個字串在自己和其他字串中總出現次數，即trie中的一個字串為另外多少個字串的子串.
對於字串\(S\)和\(T\)，考察\(S\)為\(T\)的子串的條件，可以發現子串即為“字首的字尾”，而在AC自動機中：
- 字首：即\(T\)所代表結點與trie源結點的路徑上某一結點
- 字尾：即結點通過跳fail所能達到的所有結點
再次考慮fail指標的性質，可以發現，所有結點fail指標都終將直接/間接指向源結點. 所以，若將所有fail反向，將得到一顆樹，一般稱為fail樹.
所以，此題中，不難發現對於一個字串，答案即為其在fail樹上的子樹中字串結尾的個數.
主要程式碼
struct AC_automaton
{
int fail[MAXN], tr[MAXN][26], siz[MAXN], tot = 0, q[MAXN];
int insert(char *s)
{//插入一個字串
int cur = 0;
for (int i = 0; s[i]; i++) {
if (!tr[cur][s[i] - 'a'])
tr[cur][s[i] - 'a'] = ++tot;
cur = tr[cur][s[i] - 'a'];
siz[cur]++;
}
return cur;
}
void getFail()
{//構建fail指標
int fr = 1, ba = 0;
for (int i = 0; i < 26; i++)
if (tr[0][i])
q[++ba] = tr[0][i];
while (fr <= ba) {
int x = q[fr++];
for (int i = 0; i < 26; i++)
if (tr[x][i])
fail[tr[x][i]] = tr[fail[x]][i], q[++ba] = tr[x][i];
else
tr[x][i] = tr[fail[x]][i];
}
}
void calc()
{//統計答案
for (int i = tot; i; i--)
siz[fail[q[i]]] += siz[q[i]];
for (int i = 1; i <= n; i++)
printf("%d\n", siz[a[i]]);
}
} acam;
另一題 洛谷P2414 [NOI2011] 阿狸的打字機 也是用fail樹，只要再用資料結構（比如樹狀陣列）簡單維護一下子樹資訊即可.
IV.DP
洛谷P4052 [JSOI2007]文字生成器
考慮反面情況，即總數減去不包含可讀串的個數.
- 總數：\(26^m\)
- 不包含可讀串：記\(dp[i][j]\)為串長為\(i\)，當前在AC自動機編號為\(j\)的結點，則結果為\(\max_{i = 0}^{tot}\{{dp[i][j]}\}\)
考慮\(dp[i][j]\)能轉移到的狀態，可以發現，對與下一狀態\((i + 1, tr[j][k])(0\leq k\lt26)\)能轉移當且僅當加上第k個字母時不會出現某一單詞的結尾，即\(tr[j][k]\)不能經過fail跳到一字串的結尾結點，而這可以預處理.
所以，對於所有這樣合法的\(k\)，都可以\(dp[i + 1][tr[j][k]] += dp[i][j]\). - 最終結果為 \(26^m-\max_{i = 0}^{tot}\{{dp[i][j]}\}\).
程式碼
#include <bits/stdc++.h>
const int MAXN = 5005, MOD = 10007;
int n, m;
char s[105];
int fpw(int x, int y) {
int res = 1;
for (; y; y >>= 1, x = x * x % MOD)
if (y & 1)
res = res * x % MOD;
return res;
}
inline int fplus(int x, int y)
{ return (x + y) >= MOD ? x + y - MOD : x + y; }
inline int fminus(int x, int y)
{ return x >= y ? x - y : x - y + MOD;}
struct AC_automaton
{
int fail[MAXN], tr[MAXN][26], tot;
bool ending[MAXN];
void insert(char *s)
{
int cur = 0;
for (int i = 0, u; s[i]; i++) {
u = s[i] - 'A';
if (!tr[cur][u])
tr[cur][u] = ++tot;
cur = tr[cur][u];
}
ending[cur] = true;
}
void getFail()
{
static std::queue<int> q;
for (int i = 0; i < 26; i++)
if (tr[0][i])
q.push(tr[0][i]);
while (!q.empty()) {
int x = q.front();
q.pop(), ending[x] |= ending[fail[x]];
for (int i = 0; i < 26; i++)
if (tr[x][i])
fail[tr[x][i]] = tr[fail[x]][i], q.push(tr[x][i]);
else
tr[x][i] = tr[fail[x]][i];
}
}
} ac;
int dp[105][MAXN];//dp[i][j]: 結點j 長度i 的不合法方案數
int main()
{
scanf("%d %d", &n, &m);
for (int i = 1; i <= n; i++)
scanf("%s", s), ac.insert(s);
ac.getFail();
dp[0][0] = 1;
for (int i = 0; i < m; i++)
for (int j = 0; j <= ac.tot; j++)
if (dp[i][j])
for (int k = 0; k < 26; k++)
if (!ac.ending[ac.tr[j][k]])
dp[i + 1][ac.tr[j][k]] = fplus(dp[i + 1][ac.tr[j][k]], dp[i][j]);
int ans = fpw(26, m);
for (int i = 0; i <= ac.tot; i++)
ans = fminus(ans, dp[m][i]);
printf("%d\n", ans);
return 0;
}
另一題洛谷P3311 [SDOI2014] 數數 類似，是在AC自動機上進行數位dp.